Un conjunto de ODE acoplados

Question

Recientemente he encontrado con este conjunto de junto ODA,

$\partial_x\alpha(x)-iA(x)\beta(x)+B(x)\beta(x)=iC(x)\alpha(x),\\ \partial_x\beta(x)+iA(x)\alpha(x)+B(x)\alpha(x)=-iC(x)\beta(x),$

donde $\alpha(x)$, $\beta(x)$, $A(x)$, $B(x)$ y $C(x)$ son funciones reales de $x$. Este conjunto de junto ODE fue planteado a partir de la resolución de una matriz de 2x2 autovalor problema. Ingenuamente, esto no debería ser difícil, pero tengo pegado por un tiempo...

Traté de usar el método de la matriz $\mathbb{x}'=\mathbb{A}\mathbb{x}$ a resolverlo, pero se enfrentan dos dificultades: el complejo de entradas y todos los elementos de la matriz son las funciones que hace que sea difícil determinar los autovalores.

Como comentario, yo ya generalizada del conjunto de junto ODE estoy lidiando con el y espero encontrar una forma general de las soluciones por sustitución de funciones originales con $A(x), B(x), C(x)$.

*He consultado con un par de los matemáticos y los físicos acerca de este problema y llegaron a la conclusión de que no hay una solución de analítica de la forma (producto de funciones elementales) que muy en duda. Creo que esto se puede resolver de forma analítica y sistemáticamente.

Así que, aquí estoy. Favor de señalar mis defectos y enlight mí.

Gracias de antemano.

Answer 1

Este sistema puede ser escrito como \begin{equation} \frac{d}{dx} \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta \end{pmatrix} \;=\; {\bf M}(x) \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta \end{pmatrix}\, , \end{equation} donde la complejidad de la matriz ${\bf M}(x)$ es \begin{equation} {\bf M}(x) \;=\; \begin{pmatrix} i C(x) & i A(x) - B(x)\\ -iA(x)-B(x) & -i C(x) \end{pmatrix}\, . \end{equation} Si las condiciones iniciales en$x = x_o$$\alpha_o$$\beta_o$, entonces la solución general a este conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias es \begin{equation} \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta \end{pmatrix} \;=\; \exp \left[\int_{x_o}^x\, dx'\, {\bf M}(x') \right]\, \begin{pmatrix} \alpha_o\\ \beta_o \end{pmatrix}\, .\qquad\qquad\qquad \text{(a los que generalmente No válido! Consulte a continuación).} \end{equation} Aquí la exponencial está destinado a ser entendido en términos de la matriz de exponenciación.

Sin más conocimiento acerca de la naturaleza de las funciones $A$, $B$, y $C$, no creo que mucho más puede decirse acerca de esta solución.

ETA: Nota: Se ha señalado (ver comentario abajo) que esta solución sólo es válida cuando se $\int_{x_o}^x\, dx'\, {\bf M}(x')$ viajes con ${\bf M}(x)$, que en general no es cierto. A petición de el cartel original, me voy de esta "respuesta".

Por cierto, me parece que para fijo $x$, los autovalores de la matriz ${\bf M}(x)$ por encima de son \begin{equation} \lambda_{\pm}(x)\;=\; \pm\sqrt{A(x)^2 + B(x)^2 - C(x)^2}\, . \end{equation} Los correspondientes vectores propios se puede también encontrarse en la forma habitual.