¿Por qué el subgrupo conmutador del grupo asociado a un cuandilo finito es finitamente generado?

Question

Un quandle $Q$ es un conjunto con una operación binaria $(x, y) \mapsto x y$ que satisface los tres axiomas siguientes:

i) $\forall x \in Q: x x=x$

ii) el mapa $S_{x}: y \mapsto y x$ es una biyección en $Q$ para todos $x \in Q$

iii) $(x y) z=(x z) (y z)$ para todos $x,y,z \in Q$

Dado un cuandle $(Q,)$ denotemos por $G_{Q}$ el grupo generado por todos los elementos de $Q$ y el conjunto de relaciones $x y = y^{1}xy$ para todos $x, y \in Q$ .

Me encontré con un teorema que decía: sea $(Q, )$ sea un cuandilo finito , entonces el subgrupo conmutador $G^{'}_{Q }$ de $G_{Q }$ está finitamente generada. Pero, ¿por qué? Quiero decir $G^{'}_{Q }= \langle g^{-1}h^{-1}gh|g,h \in G_Q \rangle$ pero aún así se pueden generar infinitos elementos de $G_Q$ utilizando un número finito de elementos de $Q$ . ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Una rápida búsqueda en Google me dio este artículo: https://arxiv.org/pdf/1705.10607.pdf

Proposición 3.3 (2).

El título es "Automorphism groups of quandles and related groups" y es de Bardakov, Nasybullov y Singh.

Obsérvese que en este caso el subgrupo conmutador está generado por $ghg^{-1}h^{-1}$ para $g,h\in Q$ . En general, el subgrupo conmutador es el mismo que el subgrupo normal subgrupo generado por estos elementos, pero los conmutadores de generadores aquí son invariantes bajo conjugación. Obsérvese que si $gag^{-1}a^{-1}$ y $hah^{-1}a^{-1}$ puede expresarse así, entonces $$(gh)a(gh)^{-1}a^{-1}=g(hah^{-1}a^{-1})g^{-1}(gag^{-1}a^{-1})$$ Normalmente $g(hah^{-1}a^{-1})g^{-1}$ no seguiría siendo un producto de conmutadores de generadores, pero en el grupo envolvente de un cuandle sí lo es. Esto hace que la prueba funcione.

Answer 2

Es una observación bastante simple, en realidad, y es cierta para una clase más general de grupos.

Sea $G$ sea un grupo generado normalmente por un único elemento $g_0$ y denotamos su clase de conjugación como $X$ . Entonces $G'$ se genera por elementos $gg_0^{-1}$ donde $g$ se encuentra en $X$ .

Prueba Observemos que $ H := \langle fh^{-1} \, | \, f, h \in X \rangle$ es normal y el factor $G/H$ es cíclico, por lo tanto $G' < H$ pero cada elemento de la forma $fh^{-1}$ es un conmutador de dos elementos en $X$ porque $X$ es una clase de conjugación completa, por lo que $H = G'$ . Sustituyendo $fg^{-1} = fg_0^{-1}(hg_0^{-1})^{-1}$ obtenemos que $\mathrm {rk} \, G' \leq |X| - 1$ .

De hecho, nuestro quandle no siempre es transitivo, pero de todos modos factor $G_Q/\langle fh^{-1} \,|\, f, h \in Q\rangle$ será abeliano libre en órbitas de $Q$ y por razones similares el núcleo se encuentra en el conmutador.