Llenar una tabla de grupo con 6 elementos

Question

Que $G=\{0,1,2,3,4,5\}$ un grupo cuya tabla parcialmente se muestra a continuación:

\begin{array}{ c| c | c | c | c |c|c|} * & 0& 1 & 2 & 3& 4 & 5\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 0 & 4 & & \\ \hline 2 & 2 & & & & & \\ \hline 3 & 3 & 5 & & & & 1\\ \hline 4 & 4 & & & & & \\ \hline 5 & 5 & & & & & \\ \hline \end{matriz}

Completa la tabla.

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Necesario para usar inversos, cancelación No 1 elemento puede repetir por filas o columnas, y consiguió la tabla incorrecta.

\begin{array}{ c| c | c | c | c |c|c|} * & 0& 1 & 2 & 3& 4 & 5\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 0 & 4 & 5 & 3 \\ \hline 2 & 2 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \\ \hline 3 & 3 & 5 & 4 & 2 & 0 & 1\\ \hline 4 & 4 & 3 & 5 & 0 & 1 & 2 \\ \hline 5 & 5 & 4 & 3 & 1 & 2& 0\\ \hline \end{matriz}

¿Qué es la tabla correcta?

Answer 1

Supongamos que has llegado a este punto y necesaria para completar el resto:

\begin{array}{ c| c | c | c | c |c|c|} * & 0& 1 & 2 & 3& 4 & 5\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 0 & 4 & 5 & 3 \\ \hline 2 & 2 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \\ \hline 3 & 3 & 5 & 4 & ? \\ \hline 4 & 4 & 3 & 5 \\ \hline 5 & 5 & 4 & 3 \\ \hline \end{array}

Una manera de proceder sería el uso de la propiedad de asociatividad, que dice que $(ab)c = a(bc)$. Deje $a = 3^2$, y considerar la posibilidad de $3^3$: desde $(3^2)3 = 3(3^2)$,$a\cdot3=3\cdot a$. En otras palabras, $3$ $a$ viaje, y desde $a \in \{0,1,2\}$, podemos ver que $a=0$.

Es importante entender que el grupo tabla de multiplicación tiene más propiedades que sólo contiene una permutación de los elementos de cada fila y columna; de lo contrario, usted tiene simplemente un cuadrado latino.

Answer 2

Supongo que es isomorfo al grupo diedro en $6 $ elementos. Ha ido mal en el último "cuarto" de la red.

\begin{array}{ c| c | c | c | c |c|c|} * & 0& 1 & 2 & 3& 4 & 5\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 0 & 4 & 5 & 3 \\ \hline 2 & 2 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \\ \hline 3 & 3 & 5 & 4 & \color{red}{0} & \color{blue}{2} & \color{blue}{1}\\ \hline 4 & 4 & 3 & 5 & \color{blue}{1} & \color{red}{0} & \color{blue}{2} \\ \hline 5 & 5 & 4 & 3 & \color{blue}{2} & \color{blue}{1}& \color{red}{0}\\ \hline \end{matriz}

$D_6 = \{ e,a,a^2,b,ab,a^2b \mid a^3=b^2=e \, \, \, ab=ba^2 \}$ El % de elementos $\color{red}{b,ab \text{ and } a^2 b}$son de orden $\color{red}{2}$.

Answer 3

Vamos a tomarlo con calma

$\begin{array}{ c| c | c | c | c |c|c|} * & 0& 1 & 2 & 3& 4 & 5\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 0 & 4 & & \\ \hline 2 & 2 & & & & & \\ \hline 3 & 3 & 5 & & & & 1\\ \hline 4 & 4 & & & & & \\ \hline 5 & 5 & & & & & \\ \hline \end{array}$

Como cada fila y columna deben ser distintos que podemos empezar por "soduku"ción de las $1*a$ fila.

$\begin{array}{ c| c | c | c | c |c|c|} * & 0& 1 & 2 & 3& 4 & 5\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 0 & 4 & \color{blue}5 & \color{blue}3 \\ \hline 2 & 2 & & & & & \\ \hline 3 & 3 & 5 & & & & 1\\ \hline 4 & 4 & & & & & \\ \hline 5 & 5 & & & & & \\ \hline \end{array}$

Ahora $1*2=0$ $2=-1$ Así que si reemplazamos $2$ $-1$ y el uso de $\pm 1*m=k\iff m=\pm 1* k$ $k*\pm 1=m \iff k=m*\mp 1$ podemos obtener la siguiente ($\color{green}{green}$$1/-1$$\color{blue}{blue}$"sudoku"ing):

$\begin{array}{ c| c | c | c | c |c|c|} * & 0& 1 & -1 & 3& 4 & 5\\ \hline 0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & -1 & 0 & 4 & \color{blue}5 & \color{blue}3 \\ \hline -1 & -1 & \color{green}0 & \color{green} 1 & \color{green}5 & \color{green}3 & \color{green}4\\ \hline 3 & 3 & 5 & \color{green}4 & & & 1\\ \hline 4 & 4 & \color{blue}3 & \color{green}5 & & & \\ \hline 5 & 5 & \color{blue}4 & \color{green}3 & & & \\ \hline \end{array}$

Ahora $3*5 = 1$ $3*5*-1 = 0$ $3*3=0$

Y sabiendo $a*b = a*0*b = (a*1)(-1*b)=(a*-1)(1*b)$ vemos: $3*3= 4*1*-1*4=4*4;3*3=5*-1*1*5=5*5=0$.

$\begin{array}{ c| c | c | c | c |c|c|} * & 0& 1 & -1 & 3& 4 & 5\\ \hline 0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & -1 & 0 & 4 & \color{blue}5 & \color{blue}3 \\ \hline -1 & -1 & \color{green}0 & \color{green} 1 & \color{green}5 & \color{green}3 & \color{green}4\\ \hline 3 & 3 & 5 & \color{green}4 & \color{red}0 & & 1\\ \hline 4 & 4 & \color{blue}3 & \color{green}5 & & \color{red}0 & \\ \hline 5 & 5 & \color{blue}4 & \color{green}3 & & & \color{red}0\\ \hline \end{array}$

Podemos "sudoku" el resto (y reemplace$-1$$2$)

$\begin{array}{ c| c | c | c | c |c|c|} * & 0& 1 & 2 & 3& 4 & 5\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 0 & 4 & \color{blue}5 & \color{blue}3 \\ \hline 2 & 2 & \color{green}0 & \color{green} 1 & \color{green}5 & \color{green}3 & \color{green}4\\ \hline 3 & 3 & 5 & \color{green}4 & \color{red}0 & \color{blue}2 & 1\\ \hline 4 & 4 & \color{blue}3 & \color{green}5 & \color{blue}1 & \color{red}0 & \color{blue}2 \\ \hline 5 & 5 & \color{blue}4 & \color{green}3 & \color{blue}2 & \color{blue}1& \color{red}0\\ \hline \end{array}$

Hmm, aunque en realidad no hemos comprobado que lo que nos dieron un grupo. Nos tomamos en la fe. Pero podemos comprobar mediante la asociatividad se mantiene.

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Aquí está una expansión y David Splutterwit la respuesta. Este es de esperar que no sea tan desordenado juego de adivinanzas y esperemos que, sin duda, ser un grupo.

En primer lugar, no vamos a usar los números, que confuso.

Vamos a usar $e=0,a=1,b=2,c=3,d=4,g=5$.($e$ es la identidad.)

Sabemos $a^2 = b$ $(1*1=2)$ y $a*b = a*a^2 = a^3=0$ $(1*2 = 0)$

Así que tenemos $\{e,a, a^2, c,d,g\}$

Tenemos las tres relaciones siguientes: $a*c=d$, $c*a=g$, y $c*g=c^2a=a$. Por lo tanto, decir $c^2 = e$

Así tenemos $\{e,a,a^2,c,ac,ca|a^3 = c^2= e\}$. $ac\ne ca$.

Ahora$a*e = a, a*a= a^2, a*a^2 = e, a*c = ac$$a*ac\ne ac$. Por lo $a*ac = ca$

Así que tenemos $\{e, a, a^2, c,ac,a^2c|a^3=c^2=e, a^2c = ca\}$.

Y eso es suficiente para describir a un grupo.

O $\{0, 1, 1^2=2, 3, 1*3=4, 1^23=5|1^3=3^2=0, 1^23=3*1\}$.

Usted puede llenar en la tabla a partir de ahí.

Deseo que yo había pensado que la primera. Es mucho más "adulto" de relleno en una tabla.