Probar

Question

dadas $x \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{N}$ \ Que $A$ ser el conjunto de enteros positivos en mayoría $x$ pero coprimo a $k$ Let $\mu$ la función de mobius, presentan las siguientes

$$\displaystyle\sum_{n \in A}\dfrac{1}{n} = \Big(\sum_{d|k}\dfrac{\mu(d)}{d}\Big)\log x + O(1)$$

Alguien me puede dar alguna pista sobre esto. He intentado escribir $LHS$ con \displaystyle\sum_{n \in $$ A} \dfrac {1} {n} = \sum_{n=1}^{\lfloor{x}\rfloor} \dfrac{1}{n}\Big(\sum_{d|gcd(n,k)}\mu(d)\Big)$ $

Luego use la sumación de Abel, pero siento que esta no es la dirección correcta.

Answer 1

Utilizamos el hecho de que \[1_{(n,k) = 1} = \sum_{d \mid (n,k)} \mu(d).\] De ello se sigue que \[\sum_{\substack{n \leq x \\ (n,k) = 1}} \frac{1}{n} = \sum_{n \leq x} \sum_{d \mid (n,k)} \frac{\mu(d)}{n}.\] La condición de $d \mid (n,k)$ es el mismo que el de las dos condiciones $d \mid k$$n \equiv 0 \pmod{d}$. Así podemos intercambiar el orden de la suma, produciendo \[\sum_{\substack{n \leq x \\ (n,k) = 1}} \frac{1}{n} = \sum_{d \mediados de k} \mu(d) \sum_{\substack{n \leq x \\ n \equiv 0 \pmod{d}}} \frac{1}{n}.\] Hacemos el cambio de variables $m = \frac{n}{d}$, por lo que el interior de la suma es \[\frac{1}{d} \sum_{m \leq \frac{x}{d}} \frac{1}{m}.\] Ahora vamos a utilizar el hecho de que esta suma es $\log \frac{x}{d} + \gamma_0 + O\left(\frac{d}{x}\right)$. De modo que la suma original es \[\sum_{d \mediados de k} \frac{\mu(d)}{d} \log x - \sum_{d \mediados de k} \frac{\mu(d) \log d}{d} + \gamma_0 \sum_{d \mediados de k} \frac{\mu(d)}{d} + O\left(\frac{1}{x} \sum_{d \mediados de k} |\mu(d)|\right).\]