El tipo de orden de los modelos de la aritmética de Peano

Question

Dejemos que $M$ sea un modelo no estándar de la Aritmética de Peano. Es bien sabido que $(M,<)$ tiene tipo de orden $\mathbb{N}+\xi\mathbb{Z}$ , donde $\xi$ es un orden denso y lineal sin puntos finales.

Sin embargo, no todos los órdenes densos y lineales sin puntos finales se realizan de esta manera, por ejemplo, no existe un modelo de $\mathrm{PA}$ con el tipo de pedido $\mathbb{N}+\mathbb{R}\mathbb{Z}$ .

¿Existen resultados generales sobre los tipos de orden $\xi$ ¿puede o no puede realizarse? Me interesa especialmente lo siguiente: Dado un ordinal $\alpha>0$ ¿existe un modelo $M$ de $\mathrm{PA}$ con el tipo de pedido $\mathbb{N}+\xi_\alpha\mathbb{Z}$ , donde $\xi_\alpha$ es un $\eta_\alpha$ -ordenando ?

Answer 1

No sé lo suficiente sobre los modelos de AP como para decirte qué tipos de órdenes se realizan (o si hay una respuesta satisfactoria a esta pregunta general). Pero su pregunta específica sobre $\eta_\alpha$ -ordenamientos es fácil de responder, simplemente utilizando las herramientas básicas de la teoría de modelos.

Cualquier teoría de primer orden admite $\kappa$ -Modelos saturados para cualquier cardenal $\kappa$ . Así que dejemos $\alpha$ sea un ordinal, y que $M$ ser un $\aleph_\alpha$ -saturado de PA. Si el tipo de orden de $M$ es $\mathbb{N} + \xi\mathbb{Z}$ Afirmo que $\xi$ es un $\eta_\alpha$ -orden.

Dejemos que $X,Y\subseteq \xi$ sean subconjuntos de tamaño $<\aleph_\alpha$ tal que $x<y$ para todos $x\in X$ y $y\in Y$ . Para cada $x\in X$ , dejemos que $a_x\in M$ sea un elemento de la copia de $\mathbb{Z}$ indexado por $x$ y de forma similar para $(b_y)_{y\in Y}$ . Entonces el tipo parcial $p(z) = \{a_x + n < z \mid x\in X,n\in\mathbb{N}\}\cup \{z < b_y-n\mid y\in Y,n\in\mathbb{N}\}$ es finitamente satisfacible y menciona menos de $\aleph_\alpha$ -muchos parámetros, por lo que se realiza mediante un elemento $c\in M$ . El índice de la copia de $\mathbb{Z}$ que contiene $c$ es estrictamente mayor que todos los elementos de $X$ y estrictamente menor que todos los elementos de $Y$ .

Editar: Dado que hay muchos $\eta_\alpha$ -órdenes hasta el isomorfismo, es posible leer tu pregunta de otra manera: Dado un particular $\eta_\alpha$ -orden $\xi_\alpha$ ¿existe un modelo de AP con tipo de orden $\mathbb{N} + \xi_\alpha\mathbb{Z}$ ? No sé nada sobre la respuesta a esta pregunta.