¿Cómo saber cuándo una curva tiene la máxima curvatura y por qué?

Question

Esta es una pregunta sobre la comprensión del concepto de curvatura. En primer lugar, ¿qué es exactamente la curvatura de una curva (no la fórmula, qué significa realmente conceptualmente)? En segundo lugar, estoy confundido acerca de cómo se puede averiguar cuándo una curva tendría la máxima curvatura. Me dijeron que es cuando la derivada de la función de curvatura (k(x)) = 0. Pero, no entiendo el concepto/razón detrás de esto.

En el libro que estoy usando hay más de una definición de curvatura. Algunas de ellas son:

Número uno:

$$k \left (x \right )= \frac { \left |f'' \left (x \right ) \right |}{ \left [1+ \left (f' \left (x \right ) \right )^2 \right ]^{ \frac {3}{2}}}$$

Número 2:

$$k \left (t \right )= \frac { \left | \vec {r}' \left (t \right )\: \times \:\: \vec {r}'' \left (t \right ) \right |}{ \left | \vec {r}' \left (t \right ) \right |^3}$$

Número 3:

$$k \left (t \right )= \frac { \left | \vec {T}' \left (t \right ) \right |}{ \left | \vec {r}' \left (t \right ) \right |}$$

Answer 1

Imagina que tienes una circunferencia que es tangente al interior de la curva. Si el radio del círculo es pequeño, entonces cabe, pero si el radio llega a ser demasiado grande, no cabe en una curva cerrada.

El círculo más grande que se ajusta a la curva en cualquier punto se denomina círculo osculador o "besador".

El radio de curvatura es el radio del círculo oscilante.

La curvatura es el recíproco del radio de curvatura.

Una vez que se tiene una fórmula que describe la curvatura, se encuentra la curvatura máxima (o el radio mínimo) de la misma manera que se encuentran los extremos de cualquier función suave.

Answer 2

La curvatura en un punto es lo que parece: una medida de lo "curvada" que es una curva. El grado de curvatura en ese punto, por así decirlo. Hay muchas (y muy variadas) nociones de curvatura, pero por lo que parece en tu pregunta, es a esto a lo que te refieres.

Para entender tu segunda pregunta, tienes que ser un poco más preciso al decirnos qué definición de curvatura estás utilizando, creo.

EDITAR:

A partir de varios comentarios y de la edición de tu post, mi única observación sobre por qué la curvatura es máxima en el punto en el que la derivada = 0 es que si te imaginas la curvatura trazada en un gráfico (un gráfico de curvatura vs tiempo $t$ ), es probable que haya un lugar donde la curvatura alcance algún máximo local. Esto será como un pico - se verá como la cima de una colina. Por esta razón, la derivada con respecto al tiempo allí será cero. Depende de la naturaleza de la curva si se trata de un máximo local o de un máximo global.

Answer 3

Mientras caminas por una curva, giras. En un punto determinado, la velocidad a la que giras (comparada con la velocidad a la que caminas) es la misma que si fueras por la circunferencia de un círculo de cierto radio. El recíproco de ese radio es la curvatura. Por lo tanto, al pasar por un punto de la curva donde la curvatura es $1$ se sentirá como un círculo de radio $1$ mientras que la curvatura de $2$ corresponde a un círculo de radio $0.5$ y así sucesivamente. (Al menos, esa es una definición de curvatura).

En cuanto a cuándo encontrar el máximo, diferenciar y hallar series funciona de la misma manera que en cualquier otra aplicación: en el punto en el que la curvatura es tan grande como va a ser, pasa de ser creciente a decreciente, lo que significa que la derivada pasa de ser positiva a negativa. Debe ser $0$ en el centro.

Answer 4

La pendiente de una curva $\gamma$ en un punto $p \in \gamma$ es igual a la pendiente de la línea $L$ a través de $p$ que es un "mejor ajuste" de la curva a primer orden, lo que significa: $\gamma$ y $L$ ambos pasan por $p$ y tienen la misma primera derivada en $p$ . Esa línea $L$ se llama tangente a $\gamma$ en $p$ .

La curvatura de $\gamma$ en un punto $p$ es igual a $1/r$ donde $r$ es el radio del círculo $C$ a través de $p$ que es un "mejor ajuste" de la curva a segundo orden, lo que significa: $\gamma$ y $C$ ambos pasan por $p$ tienen la misma primera derivada en $p$ y tienen la misma segunda derivada en $p$ . Ese círculo $C$ se llama círculo osculante a $\gamma$ en $p$ .

Utilizando esta definición de curvatura, se puede derivar cualquiera de esas fórmulas utilizando el cálculo y la geometría analítica.

Answer 5

La curvatura es lo que marca la diferencia entre una línea recta y una curva, es decir, una medida de "no rectitud". Y es intuitivo que una curva de constante La curvatura es una círculo .

Para las curvas que no son círculos, la curvatura debe definirse localmente, es decir, varía de un lugar a otro. Para obtener una estimación, se toman tres puntos en una pequeña vecindad y se construye el círculo a través de ellos.

Esto se puede manejar mediante el cálculo diferencial y se puede demostrar que cuando se encoge la vecindad, el círculo tiende a un límite, y la inversa de su radio viene dada por las fórmulas que has citado.

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Ahora bien, como cualquier función no constante, la curvatura puede tener mínimos y máximos. Hay que tener en cuenta que el signo de la curvatura distingue entre giros a la izquierda y giros a la derecha, de modo que los extremos corresponden a lugares donde el radio es el más pequeño, independientemente de la dirección. La curvatura puede incluso llegar a ser infinita, formando la llamada punto angular (el círculo local degenera en un solo punto).

También es interesante considerar los ceros de la curvatura, donde la curva se vuelve localmente recta. Estos se denominan puntos de inflexión .