Cómo encontrar la distancia de Riemann en la esfera $S^n\subset \Bbb{R}^{n+1}$

Question

Estoy tratando de demostrar que, si $\rho:S^n\times S^n\to \Bbb{R}$ es la distancia inducida por la métrica de Riemann en la esfera de la $S^n\subset \Bbb{R}^{n+1}$, $$\rho(p,q)=\arccos \langle p,q\rangle,\,\,\,\forall p,q\in S^n$$ con $\arccos$ definido de$[-1,1]$$[0,\pi]$.

Si $p=q$, entonces la fórmula es trivial. Tenemos entonces dos casos: $p=-q$$p\neq- q$. Estoy teniendo problemas con el aparentemente más fácil de caso, $p=-q$.

Si $p=-q$, luego deje $v\in S^n$ ser cualquier vector ortogonal a $p$. Entonces $\alpha:[0,\pi]\to S^n$, $\alpha(t)=(\cos t)p+(\sin t)v$ es un lugar bien definido diferenciable camino de $p$ $q$tal que $\ell_0^\pi(\alpha)=\pi$ ("longitud de $\alpha$"). Esto garantiza que el $\rho(p,q)\leq \pi (=\arccos \langle p,q\rangle$, en este caso).

Con el fin de mostrar que el $\rho(p,q)=\pi$, le debe considerar un diferenciable arbitraria por partes path $\beta:[a,b]\to S^n$ $p$ $q$y demostrar que $$\pi\leq \ell_a^b(\beta)=\int_a^b|\beta'(t)|\,dt.$$

He hecho algunas geométrica observaciones y cálculos, pero sin éxito. ¿Cómo puedo hacer esto? Me gustaría poder hacerlo sin necesidad de utilizar ninguna información acerca de geodesics (que aparecen más adelante en el libro que estoy estudiando).

Answer 1

Deje $p=(1,0,\dots,0)$$q=(-1,0,\dots,0)$. Entonces cualquier camino de $p$ $q$es de la forma $\gamma(t)=(t,h(t))$, donde $h(t)\in \Bbb{R}^n$. Entonces la longitud de la ruta es $$ L=\int_{-1}^{1}|\gamma'(t)|dt. $$ Pero $\gamma'(t)=(1,h'(t))$, y por lo $|\gamma'(t)|=\sqrt{1+|h'(t)|^2}$.

Ahora $t^2+\langle h(t),h(t)\rangle=\langle \gamma(t),\gamma(t)\rangle=1$, por lo que $$ 2t+2\langle h(t),h'(t)\rangle=0. $$ Por Cauchy Schwartz tenemos $|h'(t)|^2|h(t)|^2\ge |\langle h(t),h'(t)\rangle|^2=|t|^2$, y así $$ 1+|h'(t)|^2\ge \frac{t^2}{|h(t)|^2}+1, $$ pero $|h(t)|^2=1-t^2$, por lo tanto $$ \sqrt{1+|h'(t)|^2}\ge \sqrt{1+\frac{t^2}{1-t^2}}=\sqrt{\frac{1}{1-t^2}}, $$ y así $$ L=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+|h'(t)|^2}dt\ge\int_{-1}^1 \sqrt{\frac{1}{1-t^2}}dt=\pi. $$

Un razonamiento similar se aplica para cualquier otro punto: Suponga $p=(1,0,\dots,0)$, entonces se puede asumir que el otro punto de $q$ es de la forma $(a,s,0,\dots,0)$. El camino de $\gamma(t)=(t,\sqrt{1-t^2},0,\dots,0)$ tiene una longitud de $$ L=\int_{a}^{1}|\gamma'(t)|dt=\int_{a}^1 \sqrt{\frac{1}{1-t^2}}dt =-arccos(t)|_{a}^1=arccos(a)=arccos(\langle p,q\rangle). $$ Por un argumento similar como en el anterior, cualquier otro camino que tiene la forma de $(t,h(t))$ con $\sqrt{1+|h'(t)|^2}\ge \sqrt{\frac{1}{1-t^2}}$, por lo que el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Para obtener un límite inferior para la longitud de un camino que une dos puntos, usted puede colocar un punto en el polo norte, introducir un angular de coordenadas y de imitar el estándar de prueba desde el espacio Euclidiano. Es conveniente utilizar un poco singular sistema de coordenadas (esencialmente el mismo que se está discutiendo):

Deje $x=(x_0,x_1,\ldots,x_n)\equiv (x_0,\vec{x})\in S^n$ ser las coordenadas de la $n$-de la esfera y de introducir el ángulo de coordinar $\theta=\theta(x)\in[0,\pi]$ mediante el establecimiento $x_0=\cos \theta$. Este es un buen coordinar al $\theta\in(0,\pi)$, es decir, una parte de los dos polos. Al $\theta\in(0,\pi)$ también podemos definir un conjunto complementario de suave coordenadas utilizando el $(n-1)$-esfera definiendo $\vec{z}=(z_1,\ldots,z_n)\in S^{n-1}$ a ser el vector que verifica $\vec{x}=\vec{z}\sin \theta$. Luego, podemos escribir: $$(x_0,\vec{x})=(\cos \theta, \vec{z} \sin \theta)$$ Ahora supongamos que $\gamma(t)=(x_0(t),\vec{x}(t))$ $C^1$- camino de $S^n$ evitando los polos. A continuación, en nuestro (parcialmente) sistema de coordenadas esféricas $(\theta,\vec{z})$ podemos calcular la derivada: $$ \dot\gamma(t) = (-\sin \theta, \vec{z} \cos\theta) \;\dot\theta(t) \; + \; (0,\dot{\vec{z}} \sin\theta)$$ Los últimos dos vectores son ortogonales, porque $\vec{z}\cdot \vec{z}=1$ implica $\dot{\vec{z}}\cdot \vec{z}=0$. Para la longitud, a continuación, obtener: $$ |\dot\gamma|^2= \dot\theta^2 + |\dot{\vec{z}}|^2 \sin^2\theta \geq \dot\theta^2 $$ de donde el simple límite inferior: $$ |\dot\gamma | \geq |\dot\theta|$$ con la igualdad iff $\dot{\vec{z}}=0$. La integración vemos que la distancia (un mínimo de longitud de ruta de acceso) entre $p$ $q$ satisface: $d(p,q)\geq |\theta(p)-\theta(q)|$ un enlace que al tomar límites también tiene al $p$ y/o $q$ es uno (o ambos) de los polos. En particular, si $p=(1,0\ldots,0)$ obtenemos: $d(p,q) \geq \theta(q) \in [0,\pi]$ con la igualdad iff $\dot{\vec{z}}=0$, es decir, cuando se $\vec{z}(t) = \vec{z}_0$ es un vector constante a lo largo de la ruta. Este extremal camino discurre a lo largo de un gran círculo que pasa por el polo norte. Así, en particular, la distancia entre el norte y el polo sur es exactamente $\pi$ con extremal camino de cualquier gran círculo que pasa por los polos. También tenemos $\cos(\theta(q))= q_0 = p\cdot q$, lo $d(p,q)= \arccos (p\cdot q)$ es la distancia entre el polo norte y algún otro punto, pero debido a la invariancia rotacional del producto escalar y la distancia de la fórmula se cumple para cualesquiera dos puntos sobre la esfera.