¿Cómo encontrar todos los polinomios que asignan números enteros a números enteros?

Question

¿Cómo se pueden encontrar todos los polinomios de grado k que mapean enteros a enteros? En otras palabras, cómo obtener todas las combinaciones de coeficientes

$a_0,...,a_k \in \Bbb R$

de tal manera que

$n \in \Bbb Z \implies p_k(n) = \sum _{i=0}^{k} a_i n^i \in \Bbb Z$

?

Por ejemplo $(n^2 + n)/2$ mapea enteros a enteros y creo que

$\{ p_2(n) \space | \space n \in \Bbb Z \implies p_2(n) \in \Bbb Z \} = \{q(n^2+2rn)/2 \space | \space q,r \in \Bbb Z\}$

Answer 1

También $n\mapsto \binom{n}k$ tiene un valor entero para cada $k$ y también lo es cualquier combinación lineal entera de éstas: $\sum_{k=0}^m a_k\binom{n}k$ . De hecho, estos son todos los polinomios de valor entero. La clave para demostrar esto es observar que si $f$ es de valor entero, entonces $n\mapsto f(n+1)-f(n)$ también es de valor entero.

Answer 2

Una pista. Un polinomio $P(x)$ siempre toma un valor entero si

1. $P(0) \in \Bbb{Z}$ .
2. $Q(x)$ siempre toma un valor entero, donde $Q(x) = P(x) - P(x-1)$ .