¿Esto es correcto? ¿No existe ningún límite?

Question

Recientemente me han presentado el siguiente problema:

(b) (3 marcas) Ahora considera la función $g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ donde

$$ g(x, y) = \begin{cases} \frac{\sin(2x^2+2y^2)}{x^2+y^2},& (x, y) \neq (0,0) \\ a,& (x, y) = (0,0) \end{cases} $$

¿Para qué valor(es) de $a$, si alguno, es $g(x, y)$ continua en $(0, 0)$?

Y creo que no hay valores de a que satisfagan la continuidad. He tomado dos límites análogos para la variable Y, que describen 4 acercamientos al punto en cuestión:

$$ \lim_{x,0\to0,0} \frac{\sin(2x^2+2(0)^2)}{x^2+(0)^2} = \lim_{x\to0} \frac{\sin(2x^2)}{x^2} $$

Me saltaré la evidencia que podemos usar L'Hospitals aquí, pero ambos convergen a 0 (numerador y denominador), por lo tanto aplicando la regla para este límite de variable única:

$$ \lim_{x\to0} \frac{4x\cdot\cos(2x^2)}{2x} = \lim_{x\to0} 2\cdot\cos(2x^2) = 2$$

Entonces en este acercamiento particular, $a = 2$ haría que la función sea continua. Sin embargo, ten en cuenta que cuando tomas el enfoque $x = y$, obtienes lo siguiente (Utilizando el producto de las leyes del límite):

$$ \lim_{x,x\to0,0} \frac{\sin(2x^2+2(x)^2)}{x^2+(x)^2} = \lim_{x\to0} \frac{\sin(4x^2)}{2x^2} = \frac{1}{2}\cdot \lim_{x\to0}\frac{\sin(4x^2)}{x^2}$$

Una vez más aplicamos la Regla de L'Hospital:

$$\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to0} \frac{8x\cdot\cos(4x^2)}{4x} = \frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to0}2\cdot\cos(4x^2) = \lim_{x\to0} \cos(4x^2) = 1 $$

A partir de esto encontramos un valor diferente que también haría que la función fuera continua en el punto 0,0, por lo que no hay un límite que exista. ¿Es esto correcto? Según calculadoras en línea, solo hay un límite, 2, pero esta ruta en la que x = y parece sostenerse siendo diferente...

¿Alguien puede encontrar un error en mi trabajo por favor para que pueda darme cuenta de mi error?

Answer 1

Nuevamente aplicamos la Regla de L'Hôpital:

$$\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to0} \frac{8x\cdot\cos(4x^2)}{\color{red}2x} = \frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to0}\color{red}4\cdot\cos(4x^2) =\color{red}2 \lim_{x\to0} \cos(4x^2) = \color{red}2 $$

Answer 2

Creo que el mejor enfoque es simplemente hacer la sustitución $u = x^2 + y^2$.

Entonces, $g$ es continua en $(0,0)$ si y solo si $$\lim_{u\to0^{+}}\frac{\sin(2u)}{u}=a$$ pero entonces, dado que $$\lim_{u\to0^{+}}\frac{\sin(2u)}{u}=2\left(\lim_{u\to0^{+}}\frac{\sin(2u)}{2u}\right)=2(1)=2$$ obtenemos continuidad en $(0,0)$ si y solo si $a = 2$.