Supongamos $G$ una versión reducida de la Mentira de grupo con un número finito de componentes conectados, y supongamos además que el componente conectado a $G^0$ de la identidad puede ser expresado como un número finito de la cubierta de un lineal de la Mentira de grupo. Denotar por $\mathfrak{g}$ el complexified Mentira álgebra, y denotan por $K$ a un máximo compacto en la complejización de la $G$.
Denotar por $\mathbf{HC}(\mathfrak{g},K)$ la categoría de admisible $(\mathfrak{g},K)$-módulos o (Harish Chandra módulos), y $(\mathfrak{g},K)$-módulo homomorphisms. Denotar por $\mathbf{Rep}(G)$ la categoría de admisible representaciones de longitud finita (en completa localmente convexo topológico de Hausdorff espacios vectoriales), con el continuo lineal $G$-mapas.
El Harish Chandra functor $\mathcal{M}\colon\mathbf{Rep}(G)\to\mathbf{HC}(\mathfrak{g},K)$ asigna a cualquier admisible representación $V$ el Harish Chandra módulo de $K$-finito de vectores de $V$. Este es un fiel, exacta functor. Vamos a llamar un functor exacto $\mathcal{G}\colon\mathbf{HC}(\mathfrak{g},K)\to\mathbf{Rep}(G)$ junto con una comparación de isomorfismo $\eta_{\mathcal{G}}\colon\mathcal{M}\circ\mathcal{G}\simeq\mathrm{id}$ una globalización functor.
Nuestra primera observación es que la globalización functors existen.
Teorema. [Casselman-Wallach] La restricción de $\mathcal{M}$ para el total de la subcategoría de suave admisible espacios de Fréchet es una equivalencia. Además, para cualquier Harish Chandra módulo de $M$, la esencia única de suave admisible representación $(\pi,V)$ tal que $M\cong\mathcal{M}(\pi,V)$ tiene la propiedad de $\pi(\mathcal{S}(G))M=V$ donde $\mathcal{S}(G)$ es el de Schwartz álgebra de $G$.
Si no restringimos $\mathcal{M}$ a lisa admisible espacios de Fréchet, entonces tenemos un mínimo de globalización y un máximo de uno.
Teorema. [Kashiwara-Schmid] $\mathcal{M}$ admite tanto a la izquierda adjoint $\mathcal{G}_0$ y derecho adjoint $\mathcal{G}_{\infty}$, y el counit y de la unidad de dar a estos functors la estructura de la globalización functors.
De la construcción. Aquí, brevemente, son las descripciones de los mínimos y máximos de globalizaciones. A la mínima que la globalización es
$$\mathcal{G}_0=\textit{Dist}_c(G)\otimes_{U(\mathfrak{g})}-$$
donde $\textit{Dist}_c(G)$ denota el espacio de forma compacta las distribuciones soportadas en $G$, y el máximo de uno es
$$\mathcal{G}_{\infty}=\mathrm{Hom}_{U(\mathfrak{g})}((-)^{\vee},C^{\infty}(G))$$
donde $M^{\vee}$ es el doble Harish Chandra módulo de $M$ (es decir, el $K$-finito de vectores de la algebraicas doble de $M$).
Para cualquier Harish Chandra módulo de $M$, el mínimo de la globalización $\mathcal{G}_0(M)$ es un doble Fréchet nuclear en el espacio, y el máximo de la globalización $\mathcal{G}_{\infty}(M)$ es un Fréchet nuclear en el espacio.
Ejemplo. Si $P\subset G$ es una parabólica subgrupo, entonces el espacio de $L^2(G/P)$ $L^2$- de las funciones en el espacio homogéneo $G/P$ es admisible la representación, y $M=\mathcal{M}(L^2(G/P))$ es particularmente interesante Harish Chandra módulo. En este caso, uno puede identificar a $\mathcal{G}_0(M)$ con el real funciones analíticas en $G/P$, y uno puede identificar a $\mathcal{G}_{\infty}(M)$ con el hyperfunctions en $G/P$.
[Creo que otras globalizaciones con diferentes propiedades son conocidos ni esperados; yo todavía no sé mucho acerca de estos, sin embargo.]
Considerar la categoría de $\mathbf{Glob}(G)$ de la globalización functors para $G$; morfismos $\mathcal{G}'\to\mathcal{G}$ son naturales de las transformaciones que se requieren para ser compatible con la comparación de los isomorphisms $\eta_{\mathcal{G}'}$$\eta_{\mathcal{G}}$. Desde $\mathcal{M}$ es fiel, esta categoría es en realidad un poset, y tiene inf y sup, es decir,$\mathcal{G}_0$$\mathcal{G}_{\infty}$. Este es el poset de globalizaciones para $G$.
Me gustaría saber más acerca de la estructura de la poset $\mathbf{Glob}(G)$ — en realidad, nada en absoluto, pero permítame hacerle la siguiente pregunta concreta.
Pregunta. Cada colección finita de elementos de $\mathbf{Glob}(G)$ admite tanto una inf y sup?
[Añade más adelante]
Emerton (abajo) menciona una imagen geométrica que parece estar muy bien adaptado para el estudio de nuestro poset $\mathbf{Glob}(G)$. Déjame en presentar las principales ideas de los objetos de interés, y lo que he aprendido acerca de nuestros poset. [Lo que te voy a decir, esencialmente fue descrito por Kashiwara en 1987.] Para esto, probablemente necesitemos para asumir ese $G$ está conectado.
La notación. Deje $X$ ser la bandera del colector de la complejización de la $G$. Deje $\lambda\in\mathfrak{h}^{\vee}$ ser un elemento dominante del espacio dual de la universal Cartan; para simplificar, vamos a suponer que es regular. Ahora se puede definir el trenzado equivariant delimitada categorías derivadas $D^b_G(X)_{-\lambda}$ $D^b_K(X)_{-\lambda}$ edificable de poleas en $X$. Ahora vamos a $\mathbf{Glob}(G,\lambda)$ denotar el poset de globalizaciones para admisible representaciones con carácter infinitesimal $\chi_{\lambda}$, por lo que los objetos son exactas functors $\mathcal{G}\colon\mathbf{HC}(\mathfrak{g},K)_{\chi_{\lambda}}\to\mathbf{Rep}(G)_{\chi_{\lambda}}$ equipada con natural isomorphisms $\eta_{\mathcal{G}}:\mathcal{M}\circ\mathcal{G}\simeq\mathrm{id}$.
Matsuki correspondencia. [Mirkovic-Uzawa-Vilonen] Hay un canónica de equivalencia $\Phi\colon D^b_G(X)_{-\lambda}\simeq D^b_K(X)_{-\lambda}$. La perversa t-estructura en el último puede ser levantado a lo largo de esta correspondencia para obtener un t-estructura en $D^b_G(X)_{-\lambda}$. El Matsuki correspondencia, a continuación, se restringe a una equivalencia $\Phi\colon P_G(X)_{-\lambda}\simeq P_K(X)_{-\lambda}$ entre los correspondientes corazones.
Beilinson-Bernstein de la construcción. Hay un canónica de equivalencia $\alpha\colon P_K(X)_{-\lambda}\simeq\mathbf{HC}(\mathfrak{g},K)_{\chi_{\lambda}}$, dado por Riemann-Hilbert, seguido por tomar cohomology. [Si $\lambda$ no es regular, entonces esto no es una equivalencia.]
Ahora podemos deducir una descripción geométrica de un objeto de $\mathbf{Glob}(G,\lambda)$ como un functor exacto $\mathcal{H}\colon P_G(X)_{-\lambda}\to\mathbf{Rep}(G)_{\chi_{\lambda}}$ equipada con un isomorfismo natural $\mathcal{M}\circ\mathcal{H}\simeq\alpha\circ\Phi$, o lo que es equivalente, como adecuadamente t-functor exacto $\mathcal{H}\colon D^b_G(X)_{-\lambda}\to D^b\mathbf{Rep}(G)_{\chi_{\lambda}}$ equipada con un functorial identificación entre el (complejo de) Harish Chandra módulo(s) de $K$-finito de vectores de $\mathcal{H}(F)$ $\mathrm{RHom}(\mathbf{D}\Phi F,\mathcal{O}_X(\lambda))$ cualquier $F\in D^b_G(X)_{-\lambda}$. En particular, como Emerton observa, la máxima y la mínima globalizaciones puede ser expresado como
$$\mathcal{H}_{\infty}(F)=\mathrm{RHom}(\mathbf{D}F,\mathcal{O}_X(\lambda))$$
y
$$\mathcal{H}_0(F)=F\otimes^L\mathcal{O}_X(\lambda)$$
Tenga en cuenta que Verdier dualidad da lugar a un anti-involución $\mathcal{H}\mapsto(\mathcal{H}\circ\mathbf{D})^{\vee}$ de la poset $\mathbf{Glob}(G,\lambda)$; en particular, los intercambios $\mathcal{H}_{\infty}$$\mathcal{H}_0$.
Ahora me esperan que uno puede mostrar lo siguiente (aunque yo no pretendo haber pensado acerca de este punto con cuidado suficiente como para considerarlo una proposición).
Conjetura. La globalización functors son representables. Es decir, cada elemento de a $\mathbf{Glob}(G,\lambda)$ es de la forma $\mathrm{RHom}(\mathbf{D}(-),E)$ para algunos el objeto $E\in D^b_G(X)_{-\lambda}$.
Pregunta. Se puede caracterizar a los objetos de $E\in D^b_G(X)_{-\lambda}$ de manera tal que el functor $\mathrm{RHom}(\mathbf{D}(-),E)$ es una globalización functor? Dado un mapa entre dos de cualquiera de estos, ¿bajo qué circunstancias inducen una de morfismos de la globalización functors (como se define más arriba)?
En particular, tenga en cuenta que si mi expectativa se mantiene, entonces uno debe ser capaz de encontrar una copia de la poset $\mathbf{Glob}(G,\lambda)$ incrustado en $D^b_G(X)_{-\lambda}$.
