Estoy realmente confundida sobre espacios vectoriales. Estamos aprendiendo acerca de ellos en álgebra Linear, y mi libro no da buenos ejemplos de lo que un espacio del vector es. Entiendo sistemas y vectores, pero no entiendo a espacios del vector. De las definiciones que han proporcionado hasta el momento, parece que cualquier cosa puede ser un espacio del vector.
¿Puede alguien proporcionar un ejemplo sencillo de lo que no es un espacio del vector para que yo puedo hacer una distinción?
En primer lugar, un espacio vectorial debe ser más un campo (que en la práctica es a menudo el real en los números de $\Bbb R$ o de los números complejos $\Bbb C$, a pesar de los números racionales $\Bbb Q$ también están permitidos, como lo son muchos otros), por definición. Así, por ejemplo, el conjunto de pares de números enteros con el estándar de las componentes además no es un espacio vectorial, aunque tiene una adición y la multiplicación escalar (números enteros) que cumple con todas las propiedades que hacer de un espacio vectorial.
Un espacio vectorial debe contener $\vec 0$. Por lo tanto, cualquier subconjunto de un espacio vectorial que no, como $\Bbb R^2 \setminus \{\vec 0\}\subseteq \Bbb R^2$ con la norma del vector de operaciones no es espacio vectorial. Al igual, un vector de las necesidades de espacio para permitir que cualquier multiplicación escalar, incluidos los negativos cambios de escala, por lo que el primer cuadrante del plano (incluso los ejes de coordenadas y el origen) no es un espacio vectorial.
Una más sutil ejemplo es el círculo (con algunos elegido cero) donde la suma se realiza mediante la adición de distancias a lo largo del círculo de los elegidos cero (equivalentemente, mediante la adición de ángulos), y la multiplicación escalar se realiza mediante la multiplicación de las distancias (ángulos). Aquí nos metemos en problemas con la multiplicación escalar de nuevo, debido a que el vector cero es representar simultáneamente $360^\circ$, entonces, ¿qué $0.5$ multiplicado por el vector de ser? $0^\circ$? $180^\circ$? Sería, al mismo tiempo, lo cual no es bueno.
Espacios vectoriales no son sólo un conjunto! Son un concepto abstracto, que implica un conjunto de $V$, un campo de $\mathbb{F}$, y las operaciones de \begin{align*} + &: V \times V \rightarrow V \\ \cdot &: \mathbb{F} \times V \rightarrow V, \end{align*} la suma y la multiplicación escalar, respectivamente, en la satisfacción de un montón de axiomas. Hay mucho más que simplemente el conjunto en juego aquí que el conjunto de $V$ sí. Los conjuntos que se pueden convertir en espacios vectoriales con el campo de la derecha y las operaciones son muy comunes, pero es mucho más raro para ser un espacio vectorial si ya viene con el campo y las operaciones.
Por ejemplo, el conjunto de los números positivos $(0, \infty)$ no parece que es un espacio vectorial, pero con escalares campo $\mathbb{R}$ y con el (no estándar) de las operaciones,
\begin{align*} \oplus &: (0, \infty) \times (0, \infty) \rightarrow (0, \infty) : (x, y) \mapsto xy \\ \odot &: \mathbb{R} \times (0, \infty) \rightarrow (0, \infty), (\lambda, x) \mapsto x^\lambda \end{align*}
se forma un espacio vectorial. Incluso los números naturales puede ser definida como un espacio vectorial sobre un campo finito, o un contable campo como el de la $\mathbb{Q}$ (a pesar de las operaciones de mirar un poco a la moda).
Así que, para responder a su pregunta, puedo venir para arriba con un conjunto que definitivamente no es un espacio vectorial? Sí. Como resulta que, todo finito campos tienen una cardinalidad que toma la forma $q = p^m$ donde $p$ es el primer y $m \in \mathbb{N}$. Como tal, finito de espacios vectoriales sobre un campo finito, que debe tener algo de dimensión finita $n \ge 0$, debe tener cardinalidad $q^n$. Por lo tanto, un conjunto con un número de elementos no es igual a una potencia principal $p^{mn}$ no debe ser un espacio vectorial finito bajo cualquiera de las operaciones. Por ejemplo, un conjunto con $6$ elementos definitivamente no es un espacio vectorial!
I. el conjunto de puntos $(x,y,z)\in \mathbb R^3$satisfacción $x+y+z=1$ no es un espacio del vector, porque $(0,0,0)$ no está en él. Sin embargo si cambia la condición a $x+y+z=0$ entonces es un espacio del vector.
II. el conjunto de todas las funciones de $\mathbb R$ $\mathbb R$ es un espacio del vector, pero no es el subconjunto de las funciones que sólo toman valores positivos.
Este podría ser un ejemplo muy instructivo...
Definir el conjunto $S$ como el conjunto de $\mathbb{R}^2$ de todos los pares ordenados de números reales, considerado sólo como un conjunto. A continuación, $S$ no es un espacio vectorial.
O bien, más lacónicamente: El conjunto de $\mathbb{R}^2$ no es un espacio vectorial.
Es útil para darse cuenta de que "el conjunto de $\mathbb{R}^2$" y "el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$" son diferentes, distintos y separados de los objetos matemáticos. El conjunto $\mathbb{R}^2$ es un conjunto, no es un espacio vectorial, y el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ es un espacio vectorial, no un conjunto.
Lo que ocurre es que hay exactamente un estándar para convertir el conjunto $\mathbb{R}^2$ en un espacio vectorial. (Hay otras maneras de hacerlo, pero esos otros caminos no son estándar o convencional.) Desde este espacio vectorial es la única "norma" espacio vectorial cuyo conjunto subyacente es $\mathbb{R}^2$, los matemáticos no he molestado a dar a este espacio vectorial su propio nombre; nosotros sólo tiene que llamar a $\mathbb{R}^2$.
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