Ejemplo de infinito campo de $(F,+,.)$ tal que $(F^*, . )$ es un grupo cíclico ?

Question

Es sabido que cualquier infinita cíclico grupo no puede ser nunca un espacio vectorial , a partir de esto podemos deducir que si $(F,+,.)$ es un infinito campo, a continuación, $(F,+)$ no puede ser cíclica . Estoy preguntando, ¿hay alguna infinito campo de $(F,+,.)$ tal que $(F^*, . )$ es un grupo cíclico ? (donde $F^*:=F$\ $\{0_F\}$ )

Answer 1

Tal $F$ no podía ser de característica cero, como se contendría $\Bbb Q$, e $\Bbb Q^\times$ no es cíclica, y los únicos subgrupos de grupos cíclicos (por ejemplo,$F^\times$) son cíclicos. Por lo $F$ sería característico $p>0$; no puede ser una extensión algebraica de $\Bbb F_p$, como cualquier elemento $x$ algebraicas sobre $\Bbb F_p$ tiene orden finito (debido a $\Bbb F_p(x)$ es finito dimensionales más de $\Bbb F_p$, por lo tanto finito). Por lo $F$ tendría necesariamente un elemento trascendental $\Bbb F_p$ e lo $\Bbb F_p(X)$ es isomorfo a un subcuerpo de $F$. Ahora se puede comprobar que $\Bbb F_p(X)^\times$ no es cíclica: considerar, por ejemplo, el subgrupo generado por a $X$ $X+1$ y demostrar que no es cíclico.