Proca de Lagrange manipulación

Question

¿Cómo puedo demostrar que la densidad Lagrangiana

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\partial_\alpha \varphi_\beta \partial^\alpha \varphi^\beta + \frac{1}{2} \partial_\alpha \varphi^\alpha \partial_\beta \varphi^\beta + \frac{\mu^2}{2}\varphi_\alpha \varphi^\alpha$$

para el verdadero campo de vectores $\varphi^\alpha$ conduce a las ecuaciones de campo

$$[g_{\alpha\beta}(\square+ \mu^2)-\partial_\alpha\partial_\beta]\varphi^\beta=0$$

Lo he hecho a través de mucho trabajo, pero me preguntaba si hay algunos trucos o formas más eficientes de hacerlo?

Y la segunda pregunta, ¿cómo puedo mostrar que el campo se satisface el de Lorenz condición de $\partial_\alpha \varphi^\alpha = 0$?

Fuente: Mandl Shaw QFT problema 2.3

Answer 1

Para derivar las ecuaciones de campo más rápidamente, considere la posibilidad de que todos los términos en el Lagrangiano son "cuadrados": un tensor contratado con la misma en todos los índices. La variación de un cuadrado es $\delta(F_{ab} F^{ab}) = 2 (\delta F_{ab}) F^{ab}$ en analogía con $d/dx\; f^2 = 2ff'$. El uso de este, tenemos por la variación de la Lagrangiana $$\delta \mathcal L = - (\delta \partial_a \varphi_b) \partial^a \varphi^b + (\delta \partial_a \varphi^a) (\partial_b \varphi^b) + \mu^2 (\delta \varphi_a) \varphi^a.$$

Podemos variación de intercambio y derivadas parciales y encontrar que la variación en la acción es $$\delta =\int \delta \mathcal L = \int (\delta \varphi_a )\partial_\nu \partial^\nu \varphi^a - (\delta \varphi^a)(\partial_a \partial_b \varphi ^b) + \mu^2 (\delta \varphi_a) \varphi^$$ donde hemos utilizado la integración por partes en los dos primeros términos y recalificado la suma de los índices en la primera. Vemos que la variación es $$\delta S = \int (\delta \varphi^a) (g_{ab}\square \varphi^b - \partial_a \partial_b + \mu^2 g_{ab} )\varphi^b$$ que se desvanece por una arbitraria variación $\delta \varphi^a$ si y sólo si el campo ecuación de $$(g_{ab}(\square + \mu^2) - \partial_a\partial_b ) \varphi^b = 0$$ sostiene. Para la segunda parte: se aplican $\partial^a$ a de la ecuación. Este rendimientos $$(\partial_b (\square + \mu^2) - \partial^a \partial_a \partial_b) \varphi^b = \mu^2 \partial_b \varphi^b + (\partial_b\square - \square \partial_b) \varphi^b = 0,$$ lo que implica la condición de Lorentz $\partial_b\varphi^b=0$, dado que el término entre corchetes se desvanece por la conmutatividad de derivadas parciales.