La otra respuesta es correcta, pero un poco breve, así que me decidí a añadir un par de palabras.
Vamos a empezar con la representación de Riesz: Para un localmente compacto Hausdorff espacio de $X$,
el mapa de tomar el finito firmado regular medida de Borel $\mu$ a la funcional $f\mapsto \langle f,\mu\rangle:= \int f\,d\mu$
es un isomorfismo isométrico del espacio de Banach $M_r(X)$ sobre el doble de la
Espacio de Banach $C_0(X)$. Aquí $C_0(X)$ es el espacio de funciones continuas que se desvanecen en el infinito,
y la norma en $M_r(X)$ es el total de la variación de la norma.
Ahora Banach-Alaoglu garantiza que la unidad de la bola en $C_0(X)^*$ es débil${}^*$ compacto, que
corresponde a la vaga compacidad de las medidas. Sin embargo, en general,
la unidad de la esfera en $C_0(X)^*$ no es débil${}^*$ cerrado y, por tanto, no compacto. Tenga en cuenta sin embargo que el
cono $\cal P$ de los elementos positivos de la $M_r(X)$ es vagamente cerrado:
$${\cal P}=\bigcap_{f\in C_0(X)_+} \left\{\mu: \langle f,\mu\rangle \geq 0\right\},$$
por lo que su intersección con la unidad de la bola es compacto.
La intuición es que la parte positiva de la unidad de la esfera es pequeño, por lo
bien podría ser compacto, aunque el conjunto de la esfera en sí misma no lo es.
Entonces, ¿cómo la compacidad de $X$ entrar en la foto? Si $X$ es compacto,
a continuación, $C_0(X)=C_b(X)$ y de la vaga y débil topologías de medidas coinciden.
En particular, la función constante "1" pertenece a $C_0(X)$ por lo que el espacio
de probabilidad de medidas es el conjunto compacto
$$ {\cal P}\cap \{\mu: \|\mu\|\leq 1\}\cap \{\mu: \langle 1,\mu\rangle =1\}.$$
