"Natural" en el contexto de la categoría de la teoría de los medios naturales de transformación. Un "isomorfismo natural" es sólo un isomorfismo entre los functors, es decir, mutuamente inversas natural transformaciones. A veces decimos algo como "$\text{Hom}(FA,B) \cong \text{Hom}(A,UB)$ es natural en $A$ $B$ " por lo que queremos decir $(A,B)\mapsto\text{Hom}(FA,B)$ $(A,B)\mapsto\text{Hom}(A,UB)$ son isomorfos como functors. Mientras que las naturales transformaciones son de hecho "natural", en el no-sentido técnico, hay un montón de ellos, y pueden ser bastante arbitrario. Por ejemplo, en la categoría de conmutativa monoids (o grupos), $x \mapsto 42x$ es una transformación natural.
"Canónica" no tiene un ampliamente utilizado técnicas significado como lo que yo sé. (Tiene algunas definiciones técnicas, pero los que yo estoy consciente de que no son ampliamente utilizados.) La categórica noción de que, inequívocamente, se acerca más a la captura de la noción de un "canónica mapa" es la noción de un universal de la flecha. Voy a utilizar una variación en la presentación mediante el uso de un concepto llamado el elemento universal. Describir la relación entre estos conceptos aquí. Decimos que un functor $F$ es representable si $\text{Hom}(X,-) \cong F$ para un objeto determinado $X$. (Tenga en cuenta, que en palabras de este dice $F$ es naturalmente isomorfo a un hom-functor.) Vamos a equivalentemente decir que $X$ representa a $F$. Un elemento universal es simplemente la imagen de $id$ bajo este isomorfismo, es decir, si $\varphi:\text{Hom}(X,-)\cong F$, $\varphi(id)\in F(X)$ es el elemento universal. En el (muy común, de hecho es necesario) en caso de que $F$ sí es una especie de hom-functor, a continuación, el elemento universal será una flecha en alguna categoría y que la flecha es el universal de flecha. Un excelente ejercicio es mostrar que si $X'$ también representa a $F$ $X \cong X'$ y el isomorfismo es único.
Los dos ejemplos de "canónica de mapas" de Omnomnomnom del segundo enlace son de esta forma. (Nota, los otros dos ejemplos son ejemplos de la "estructura " mapas".) Esto puede no ser obvio, así que permítanme explicar.
El primer ejemplo es el cociente del grupo de construcción. Deje $N$ ser un subgrupo normal de un grupo de $G$. Definir $F(H)\equiv\{f\in\text{Hom}(G,H)\mid \forall x\in N.f(x) = 0\}$. A continuación, es el caso de que $\text{Hom}(G/N,-)\cong F$. (Para probar esto. No olvides connaturalidad.) El elemento universal es un grupo homomorphism $q\in\text{Hom}(G,G/N)=F(G/N)$ que $q(x)=0$ fib $x\in N$. En particular, cualquier $f \in F(H)$ factores a través de $q$ únicamente.
El segundo ejemplo se dice que hay una transformación natural $\lambda : V \to V^{**}$ natural en $V$ donde $V$ es un espacio vectorial sobre el campo $k$, e $V^* \equiv V \multimap k$ es la dualidad con $V\multimap W$ siendo el espacio vectorial de las funciones lineales de$V$$W$. Tenemos los siguientes contigüidad $$\text{Hom}(U,V\multimap W)\cong\text{Hom}(V,U\multimap W)$$ natural in $U$, $V$, and $W$. (Prove this.) Set $F_V(U)\equiv\text{Hom}(V,U\multimap k)=\text{Hom}(V,U^*)$. $\text{Hom}(-,V^*)\cong F_V$. (This looks slightly different from our definition of representability, but it's actually the same. Why?) The universal element is then a map $\lambda_V \en F_V(V^*) = \text{Hom}(V,V^{**})$. These arrows indexed by $V$ form the components of a natural transformation $\lambda : Id \a (-)^{**}$. De hecho, este resultado puede ser demostrado, en general, y el resultado general es un corolario a resultado llamada con parámetros de representatividad.
