¿Prueba sencilla de automorfismo con curvas elípticas en celosía?

Question

Para una red $\Lambda_1=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i$ encontrar Aut( $E_1$ ) donde $E_1(\mathbb{C})=\mathbb{C}/\Lambda_1$ .

Así que sé que End( $E$ ) $ =\{\beta \in \mathbb{C} $ | $\beta\Lambda \subseteq \Lambda\}$ y Aut( $E$ ) $=\{\beta \in \mathbb{C} $ | $\beta\Lambda =\Lambda\}$ pero no estoy muy seguro de cómo utilizar esta información para encontrar los automorfismos correctos.

¿Cuál es una buena manera de encontrar el Aut( $E_1$ )?

Answer 1

Puesto que usted sabe que ${\rm End}(\Bbb C/\Lambda)=\{\lambda\in\Bbb C\mid\lambda\Lambda\subseteq\Lambda\}$ debe quedar claro que $$ {\rm Aut}(\Bbb C/\Lambda)=\{\lambda\in\Bbb C\mid\lambda\Lambda=\Lambda\}. $$ En $\Lambda=\Bbb Z\otimes\Bbb Zi=\Bbb Z[i]$ este último conjunto se identifica con el conjunto de elementos invertibles en el anillo $\Bbb Z[i]$ es decir $$ \{1,-1,i,-i\}. $$

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Una variante consiste en observar que para cualquier $\lambda\in\Bbb Z[i]$ el conjunto $\lambda\Lambda=\lambda\Bbb Z[i]$ es un ideal con $$ \left|\frac\Lambda{\lambda\Lambda}\right|=|\lambda| \qquad\text{(complex norm)} $$ (esto puede entenderse observando que multiplicando por $z\in\Bbb C$ una zona de una región $A\subset\Bbb C=\Bbb R^2$ se multiplica por un factor $|z|$ ). Así, $\lambda\in{\rm Aut}(\Bbb C/\Lambda)$ cuando $|\lambda|=1$ que conduce al mismo resultado.

Answer 2

En primer lugar, sugeriría determinar $End(E_1)$ . Para ello, puede observar que si $\alpha\in\mathbb{C}$ y $\alpha(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\subset\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ sólo si $\alpha\in\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ y por lo tanto $End(E_1) = \mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ . Entonces, los automorfismos serán los endomorfismos de norma 1, es decir las unidades de $\mathbb{Z}[i]$ el grupo cíclico generado por $i$ que, como conjunto, está formado por los elementos $\{1,-1,i,-i\}$ .