No pueden seguir la prueba de que entre dos reales es un racional.

Question

Estoy siguiendo un libro de texto y como es una buena práctica, sólo estoy omitiendo cosas que puedo hacer. este es el auto-aprendizaje

Siempre tengo problemas con el capítulo 1, el que construye los "axiomas", la odio.

De todos modos, estoy luchando para seguir algunas de las pruebas, y se supone que no requieren de la aplicación de la tarde las cosas.

Hay dos partes, en primer lugar:

a) si $x,y\in\mathbb{R}$ $x>0$ $\exists$ un entero positivo $n$ tal que $nx>y$

b) si $x,y\in\mathbb{R}$ $x<y$ luego $\exists$ $p\in\mathbb{Q}$ tal que $x<p<y$

Las dos cosas que puedo hacer, pero no de la manera que está establecido.

Parte De Un

Para la parte a) se va como sigue: (te sigo)

Deje $A$ ser el conjunto de todos los $nx$ (yo habría usado una secuencia.... pero no es un gran problema) si a) es falsa (la negación de la producción: $\forall n,\ nx\le y$ ), entonces y es un límite superior. A continuación, $A$ tiene al menos un límite superior en $\mathbb{R}$. Estoy feliz con esto.

Deje $\alpha = \sup(A)$, ya que el $x>0,\ \alpha-x<\alpha$ $\alpha-x$ no es una cota superior de a $A$ - un poco confundido aquí con el, ya que parte,no veo cómo, desde $x>0$ $\alpha-x$ no es un límite superior. Estoy de acuerdo con la conclusión, aunque.

Esta es la razón por la que yo habría usado una secuencia, no estoy seguro de cómo mostrar el $\alpha-x$ no es un límite inferior con el equipo a mano. Pero estoy satisfecho con el proceso.

Aquí es donde el autor pierde mí:

Por lo tanto $\alpha-x<mx$ para algún entero positivo m

Entonces soy feliz de nuevo:

pero, a continuación, $\alpha<mx+x=(m+1)x$ lo cual es una contradicción que $\alpha$ es un límite superior.

La Parte B

Desde $x<y$ tenemos $y-x>0$ y el uso de una) podemos suministrar los mismos, con un entero positivo, $n$, de tal manera que $n(y-x)>1$ (estoy contento con esto, el 1 es el "y" de la parte a))

Aplicar una) de nuevo para obtener números enteros positivos $m_1$ $m_2$ tal que $m_1>nx$ $m_2>-nx$ bien,en este caso "x" es 1 (parte a) y la "y" es nx, así que estoy feliz con esto.

También estoy contento con los pedidos, por lo $-m_2<nx<m_1$

Aquí es donde me pierdo.

Por lo tanto, no es un número entero $m$ ( $-m_2\le m\le m_1$ ) tal que $m-1\le nx<m$

No estoy seguro de por qué se dice "por lo tanto" ni lo ha sido aplicado aquí.

Si combinamos estas desigualdades obtenemos

$nx<m\le 1+nx<ny$

Puesto que n > 0 se sigue que

$x<\frac{m}{n}<y$ esto prueba b) por $p=\frac{m}{n}$

I "especie de" modo de ver, en que $-m_2<m_1$ y tal y como está enteros.... pero yo no diría yo confío en él. Tampoco veo por qué.

De ahí que generalmente significa "por lo tanto, podemos llegar a" y me siento incómodo porque no puedo ver cómo uno puede pensar en hacer esto, habida cuenta de lo que está a la mano, que es la razón por la que estoy haciendo el capitulo, yo debería ser capaz de pensar por mí mismo, en lugar de recordar las pruebas

Anexo

Pensando en ello, $-m_2<nx<m_1$ es útil, como el conjunto $\{-m_2,-m_2+1,-m_2+2,...,m_1-1,m_1\}$ es finito.

no muy seguro de cómo utilizar este aunque.

Answer 1

Vamos a tratar con la parte A. en Primer lugar usted necesita entender muy claramente la definición de menos el límite superior.

Un número $\alpha$ se dice ser la menor cota superior de un conjunto no vacío de números reales a si cada miembro de la $x \in A$ satisifes $x \leq \alpha$ y para cualquier número de $\beta < \alpha$ tenemos al menos un miembro de la $y \in A$$y > \beta$.

Así que todos los miembros de Un menor o igual a la menor cota superior de a $\alpha$. Buf si queremos bajar más/menos de $\alpha$, decir $\beta$, luego están los miembros de $A$, que es mayor que $\beta$.

Ahora a la confusión en la parte A. Tenemos $\alpha = \sup A$. Y desde $x > 0$ tenemos $\beta = \alpha - x < \alpha$ y, por tanto, debemos tener algún miembro de $A$, que es mayor que $\beta = \alpha - x$. Y puesto que todos los miembros de $A$ son de la forma $nx$, se deduce que hay algunos entero $m$ $mx > \beta = \alpha -x $ o $\alpha < (m + 1)x$.

La parte B no es tan difícil una vez que te parte R. la situación en la que hay dos enteros $m_{1}, m_{2}$$-m_{2} < nx < m_{1}$. Eficaz puede ver que la cantidad de $nx$ se encuentra entre dos números enteros $-m_{2}$$m_{1}$. Por lo tanto, no debe ser de dos números enteros consecutivos decir $m - 1$ $m$ tal que $nx$ se encuentra entre ellos. La idea es que se inicia desde $-m_{2}$ y mantener en aumento por $1$, de modo que no se exceda $nx$. De esta manera se obtiene un número entero que escribimos como $m - 1$. Claramente, al agregar a $1$ supera la cantidad de $nx$ y, por tanto,$nx < m$. Finalmente tenemos a $m - 1 \leq nx < m$.

Answer 2

Aclarando lo que dice Paramanand Singh.

Dado que usted tiene $-m_2 < n x < m_1$, tener disminución $m_1$ sin violar $nx <m_1$. Del mismo modo mantener disminución $m_2$ (aumento $-m_2$ hasta que ya no puedes. Entonces $m_1=m$.