Tengo curiosidad por saber el valor de
$$\sum_{n=0}^\infty e^{-n^2}.$$
Se me ocurre al observar la integral de Gauss que es igual a
$$\int_{0}^\infty e^{-t^2}dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.$$
En realidad se ha tropezado con un Función theta de Jacobi :
$$\vartheta_3(z,q)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}q^{n^2}e^{2\pi iz}$$
Con $z=0$ y $q=e^{-1}$ y aprovechando que la suma es simétrica, obtenemos
$$\frac12\left(\vartheta_3(0,e^{-1})+1\right)=\sum_{n=0}^\infty e^{-n^2}$$
Aunque si me permite interesarme un poco, hay algunas formas cerradas para series similares:
$$\frac{\pi^{1/4}}{\Gamma(3/4)}=\frac12\left(\vartheta_3(0,e^{-\pi})+1\right)=\sum_{n=0}^\infty e^{-\pi n^2}$$
Estas identidades comienzan en $(45)$ en el enlace indicado.
...que también puede escribirse $\psi(1/\pi)+1$ , donde $\psi$ es una función que satisface la ecuación funcional $\dfrac{1+2 \psi(x)}{1+2 \psi(1/x)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ en el mismo enlace.
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