Hay un constructiva prueba de esta caracterización de $\ell^2$?

Question

Me gustaría volver a examinar esta cuestión, que puede ser equivalente indicado como:

La proposición. Deje $(a_n)$ ser una secuencia de reales (o complejos) números de tal manera que $\sum a_n b_n$ converge para cada $(b_n) \in \ell^2$. A continuación,$(a_n) \in \ell^2$.

La prueba dada aquí por Bruno Stonek es el único que sabe, el que se aplica el uniforme de acotamiento principio el lineal funcionales $(b_n) \mapsto \sum_{n=1}^m a_n b_n$$(\ell^2)^*$. Pero me inclino a estar de acuerdo con GEdgar el comentario sobre Davide Giraudo la respuesta de que este enfoque, aunque slick, es "demasiado avanzadas".

Uno podría escribir el contrapositivo como:

Deje $(a_n)$ ser una secuencia de números reales que no es $\ell^2$. Entonces existe $(b_n) \in \ell^2$ tal que $\sum a_n b_n$ diverge.

Una forma natural para tratar de demostrar que la declaración explícita de construir una $(b_n)$, por de alguna manera manipular $(a_n)$. Nuestro documento actual está lejos de ser constructivo en ese sentido, desde el uniforme acotamiento principio, básicamente, dice que el conjunto de $(b_n)$ es comeager en el espacio de Hilbert $\ell^2$, y, a continuación, utiliza Baire afirmar es no vacío.

Así que mi pregunta:

Puede alguien pensar que de una forma explícita de construcción $(b_n)$? O, alternativamente, ¿hay alguna razón para pensar que este tipo de construcción puede ser imposible?

Por ejemplo, como una conjetura, tal vez podría mostrar que cualquier mapa de envío de cada una de las $(a_n) \notin \ell^2$ a una $(b_n)$ tendría que ser nonmeasurable en algún sentido.

Answer 1

Uno puede construir explícitamente una secuencia $(b_n)$ y esto probablemente se explica en varios libros de ejemplos y contraejemplos en el Análisis. Aquí vamos.

Suponer sin pérdida de generalidad que $a_1\ne0$ y, para cada $n\geqslant1$, vamos $$A_n=\sum\limits_{k=1}^na_k^2,\qquad b_n=\dfrac{a_n}{A_n}. $$ El resultado de la OP está interesado en una consecuencia de los dos reclamos a continuación.

Reivindicación 1: Para cada $(a_n)$, la secuencia de $(b_n)$$\ell^2$.

Reivindicación 2: Para cada $(a_n)$ no $\ell^2$, la secuencia de $(a_nb_n)$ no $\ell^1$.

Para demostrar la reivindicación 1, tenga en cuenta que, para cada $n\geqslant2$, $a_n^2=A_n-A_{n-1}$ por lo tanto $$ b_n^2=\frac{A_n-A_{n-1}}{A_n^2}\leqslant\frac{A_n-A_{n-1}}{A_nA_{n-1}}=\frac1{A_{n-1}}-\frac1{A_n}, $$ por lo tanto la serie $\sum\limits_nb_n^2$ converge y su suma es en la mayoría de las $2/a_1^2$). (Este paso no hace uso de la hipótesis de que la secuencia de $(a_n^2)$ no es summable de ahí que $A_n\to+\infty$).

Para demostrar la reivindicación 2, tenga en cuenta que, para cada $N$ y cada una de las $2\leqslant k\leqslant N$, $$ a_kb_k=\frac{a_k^2}{A_k}\geqslant\frac{a_k^2}{A_N}=\frac{A_k-A_{k-1}}{A_N}. $$ Desde la secuencia de $(a_n^2)$ no es summable, $A_N\to+\infty$ al $N\to\infty$. Por lo tanto, para cada $n\geqslant1$, existe alguna $N\geqslant n$ tal que $A_N\geqslant2A_n$. Para cada una de dichas $N$, $$ \sum\limits_{k=n+1}^Na_kb_k\geqslant\frac{A_N-A_{n}}{A_N}\geqslant\frac12. $$ Esto demuestra que $\sum\limits_{k=n+1}^Na_kb_k$ no converge a cero cuando se $n$$N\to\infty$. Por lo tanto, la serie de $\sum\limits_ka_kb_k$ diverge.