Estoy haciendo el problema 19 en Análisis Real de Folland como a continuación:
Sea $\mu^*$ sea una medida externa sobre $X$ inducida a partir de una medida previa finita $\mu_0$ . Si $E \subset X$ definimos la medida interior de $E$ ser $\mu_*(E) = \mu_0(X) - \mu^*(E^c)$ . Entonces $E$ es $\mu*$ -medible si $\mu^*(E) = \mu_*(E)$
Para la inversa, he encontrado la solución. Para la $==>$ dirección. Tengo una solución muy sencilla comparada con otra solución que encontré en Internet que creo que puede estar equivocada, pero no encuentro el agujero en esa solución. La posteo aquí, espero que alguien pueda ayudarme a juzgarla. Muchas gracias.
Porque $E$ es $\mu*$ -medible, tenemos $$\mu_0(X) = \mu^*(X) = \mu^*(X \cap E) + \mu^*(X \cap E^c) = \mu^*(E) + \mu^*(E^c)$$ Por lo tanto $$\mu_*(E) = \mu_0(X) - \mu^*(E^c) = \mu^*(E)$$ Porque $\mu_0$ es una medida previa finita, $\mu^*$ es una medida finita
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¿En qué libro de texto aparece el problema 19? Además, ¿cuál es su definición de mensurable? Hay muchas definiciones equivalentes, incluida la que hace que el problema sea trivial, por lo que es conveniente establecer claramente todas las definiciones para este problema.
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He editado la pregunta para dejar claro dónde está la fuente. Con todo, la definición medible se basa en la medida exterior: $E$ es medible si para todo $A \subset X$ tenemos $$\mu^*(A) = \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c)$$
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Por favor, comparte la prueba de la otra implicación, si quieres, porque es exactamente donde estoy atascado, y asumo que más gente encontrará que esta es la implicación más difícil de probar.