Espectáculo de propiedad de una secuencia $a_{n}$

Question

La secuencia de $a_n$ se define como $ a_0$ es un número real arbitrario, $ a_{n+1}$ = $\lfloor a_{n}\rfloor$ ($a_{n} - \lfloor{a_{n}}\rfloor$)

Demostrar que para cada $ a_0$:

$$\exists m\geq0, \forall n \geq m, a_{n+2}= a_n$$

La función del suelo $\lfloor x \rfloor$, por ejemplo, $\lfloor 3.2 \rfloor = 3$ $\lfloor -3.2 \rfloor = -4$

Aquí está mi intento: [link]

Lo que he notado es que, debido a la función del suelo que se denota como $\lfloor x \rfloor$ todas estas secuencias se aproximará a cero. No estoy seguro de si este secuencias tiene un divergentes de la propiedad de forma periódica la conmutación entre un par de elementos particulares, pero tal vez.

A pesar de que por qué creo que se aproxima a cero:

Deje de $ a_0= 16.2 \Rightarrow a_1 = 16 (16.2 - 16) = 16 \cdot 0.2 = 3.2 \Rightarrow a_2 = 3 (3.2 - 3) = 3 \cdot 0.2 = 0.6 \Rightarrow a_3 = 0 (0.6 \cdot 0) = 0$

Answer 1

El caso de $a_n \geq 0$ ( $a_0 \geq 0$ ) es sencillo como $a_{n+1} = \lfloor a_n\rfloor(a_n-\lfloor a_n\rfloor) \leq \lfloor a_n\rfloor \leq a_n$ $a_n$ es decreciente y acotada abajo por $0$ por la monotonía teorema de convergencia de la secuencia converge a la única posible (positivo) límite de punto de $a_n = 0$. Por la definición de convergencia no es un $N$ tal que $0 < a_n < 1$$n\geq N$. Pero, a continuación, $a_{N+1} = 0$ $a_n = 0$ todos los $n > N$.

El complicado caso es $a_0 < 0$. Primero observe que podemos escribir $a_n = -m - \delta$ donde$\delta \in [0,1)$$m \in\mathbb{N}$. Dependiendo del valor de $\delta$ en relación al $m$ que puede tener un comportamiento diferente:

• Si en algún punto de $\delta = 0$ $a_n = 0$ a partir de ese punto en adelante. Del mismo modo, si $\delta = \frac{1}{m+2}$ $$a_{n+1} = -(m+1)\left(1-\frac{1}{m+2}\right) = - m - \frac{1}{m+2} = a_n$$ y tenemos $a_n = -m-\frac{1}{m+2}$ a partir de ese punto en adelante.

• Si $\delta \in \left(\frac{1}{m+2},1\right)$ $$|a_{n+1}| = |m+1|(1-\delta) < m + \delta = |a_n|$ $ de modo que la secuencia es menor en valor absoluto en el siguiente paso.

• Si $0 < \delta < \frac{1}{m+2}$ $$a_{n+1} = -(m+1)(1 - \delta) = -m - \delta'~~~\text{where}~~~\delta' = 1 - (m+1)\delta~~\text{so}~~~\delta' \in \left(\frac{1}{m+2},1\right)$$ y de ello se sigue que $$|a_{n+2}| = (m+1)^2\delta < m+\delta = |a_n|~~~\text{since}~~~\delta < \frac{1}{m+2}$$ así que la secuencia es menor en valor absoluto después de dos pasos.

• Por último, si $-1 \leq a_n < 0$ $a_{n+1} = -1 - a_n$ $a_{k+2} = a_k$ tiene para todos los $k\geq n$.

Combinding los resultados anteriores podemos construir un subsequence $\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ que es la disminución en valor absoluto. Tome $n_1 = 0$ $k\geq 1$ tomamos $n_{k+1} = n_k + 1$ si $|a_{n_k+1}| \leq |a_{n_k}|$ $n_{k+1} = n_k + 2$ lo contrario.

Si esta larga en algún momento ha $-1 < a_{n_k} < 0$ entonces se comenzará a alternar de modo $a_{n+2} = a_n$ tiene para todos los $n\geq n_k$. Si esto no sucede entonces por el teorema de convergencia monótona esta larga deben converger. Hay dos opciones: en primer lugar si $a_{n_k}$ alguna vez se convierte en un entero, entonces la secuencia converge a $0$ en el siguiente paso (y de ello se sigue que $a_n = 0$ todos los $n > n_k$). De lo contrario, la larga debe converger a uno de los fixpoints en la forma $-m-\frac{1}{m+2}$ algunos $m\in\mathbb{N}$. Como vamos a mostrar a continuación que esto es imposible ya que estos fixpoints rechazan.

Deje $e_n = a_n - \left(-m-\frac{1}{m+2}\right)$ y asumir que $e_n\to 0$, lo que garantiza la existencia de una $N$ tal que $|e_n| < \epsilon = \frac{1}{m+2}$$n\geq N$. Esta elección de $\epsilon$ garantiza que $\lfloor a_n \rfloor = -(m+1)$ todos los $n\geq N$ y la recursividad nos da $e_{n+1} = -(m+1)e_n$ y por inducción $e_{n+k} = (-1)^k (m+1)^k e_n$ todos los $k\geq 1$. Tomando $k\to \infty$ obtenemos una contradicción, a menos $e_n = 0$ que solo es posible si $a_0 = -m -\frac{1}{m+2}$ un caso que ya se han cubierto.

En conclusión podemos ver que $a_{n+2} = a_n$ tiene para todos los suficientemente grandes $n$.

Answer 2

Si su función es $a_{n+1} = \lfloor a_n \rfloor (a_n - \lfloor a_n \rfloor)$ (en la foto, pero no la pregunta)

Entonces

Si $a_0>0$

$\lfloor a_n \rfloor < a_n$ $ (a_n - \lfloor a_n \rfloor)<1$

$0 \le a_{n+1} < \lfloor a_n\rfloor] < a_n$ $\lfloor a_{n+1}\rfloor \le \lfloor a_n \rfloor - 1$

El entero componente es la caída de por lo menos 1 con cada iteración. finalmente se debe caer por debajo de 0. Y que su secuencia es igual a 0 a partir de entonces.

Si $a_0 < 0$ el patrón es más complicado

es posible que $a_{n+1}$ a saltar a un número entero y luego a $0.$

si $1<a_n<0$ $a_{n+1} = -1 - a_n$ $(-1,0)$

$a_{n+2} = a_n$

Y una oscilación estable emerge.

$a_n < -1$ , mientras que es posible que $|a_{n+1}| \ge |a_n|$, pero en estos casos $\lfloor a_{n+1} \rfloor = \lfloor a_{n} \rfloor$ $a_{n+1} - \lfloor a_{n+1} \rfloor < a_{n} - \lfloor a_{n} \rfloor$ el aumento de la probabilidad de que $|a_{n+2}|<|a_{n+1}| - 1$

La secuencia de cualquiera de los jefes de la $0$, o se cae en una oscilación regular.