Deje $\mathcal{H}$ ser un complejo espacio de Hilbert, y deje $A$ ser un almacén de operador operador lineal en $\mathcal{H}$$\|A\| \le 1$. Se sabe que $\|p(A)\|\le \sup_{|z|=1}|p(z)|$ para todos los complejos polinomios $p(z)$. ¿Alguien sabe de una breve prueba de este hecho?
Respuesta
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Más generalmente, se puede trabajar con las funciones de $p$, que es analítica en algunos barrios de la unidad de disco. La prueba se basa en el hecho de que usted puede encontrar una norma-analítica mapa $$A(\cdot)\colon \mathbb{C}\to \mathscr{B}(\mathcal{H}\oplus \mathcal{H})$$ such that $a(0)=A\oplus 0$ and $A(z)$ is unitary for $|z|=1$. De hecho, basta con poner
$$A(z) = U(z)BU(z)$$
donde
$$U(z) = \left( \begin{array}{cc}I & 0 \\ 0 & zI \end{array}\right)\text{ and }B(z) = \left( \begin{array}{cc}A & (I-|A^*|^2)^{1/2} \\ (I-|A|^2)^{1/2} & -A^* \end{array}\right).$$
Deje $F(z) = p(A(z))$. En particular, $$F(0) = \left( \begin{array}{cc}p(A) & 0 \\ 0 & p(0) \end{array}\right).$$
Ahora uso el máximo módulo de principio para el operador de valores de funciones analíticas para obtener:
$$ \begin{array}{lcl} \|p(A)\| & \leqslant & \|F(0)\| \\ &\leqslant & \max_{|z|=1} \|F(z)\| \\ &\leqslant & \max_{|z|=1} |p(z)|.\end{array}$$
