Hace $\lfloor x \rfloor.\{x\}=1$ ¿tiene solución negativa?

Question

Si resolvemos esta ecuación $$\lfloor x \rfloor.\{x\}=1$$ $$x=\lfloor x \rfloor+\{x\}=n+p\\ 0\leq p<1 , n\in \mathbb{Z} \to $$ podemos reescribir $$\lfloor x \rfloor.\{x\}=1\\n(x-n)=1 \\\to x=n+\frac{1}{n}$$ Es obvio que para $$n=2,3,4,... \text{works} \\\text{for example }n=2 \to x=2.5 \to \lfloor 2.5 \rfloor.\{2.5\}=2.\frac12=1 \checkmark $$ también es obvio $n\neq 1,\neq -1$ pero si por ejemplo, conectamos $n=-2 $ no funciona $$n=-2 \to x=-2+\frac{1}{-2}=-2.5 \\\to \lfloor -2.5 \rfloor.\{-2.5\}=-3.\frac{+1}{2}\neq 1$$ ahora mi pregunta es :¿Por qué la respuesta no funciona para los negativos?

Gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta no funciona para los negativos porque para $x<0$

$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor -1$

la ecuación se traduce en

$\lfloor x \rfloor.\{x\}=1\\(n-1)(x-n+1-1)=1 \\\to x=n+\dfrac{1}{n-1}$

Espero que esto ayude

Answer 2

Bueno, vamos a probarlo.

Para $x < 0$

Dejemos que $-n \le x < -n + 1 \le 0$ para algunos $n \ge 1$

Entonces $[x] = -n$ .

Así que si $[x]*\{x\}= 1$ puis $\{x\} = - \frac 1n$ .

Así que $x = [x] + \{x\} = -n +(-\frac 1n) = -n -\frac 1n $ .

Pero $-n - \frac 1n < -n \le x$ .

... o ... uno podría haber notado de inmediato que $0 \le \{x\} < 1$ así que $\{x\}$ nunca es negativo por lo que $\{x\}= -\frac 1n$ es imposible.

... o ... $[x] \le x < 0$ mientras que $0 \le \{x\} < 1$ así que $[x]*\{x\} \le 0 < 1$ .

Answer 3

Observación: Sólo hay que tener en cuenta que $0 \leq \{x\}$ .
[O, por el contrario $ - \{x\} \leq 0$ . ]

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La respuesta es No ;
Supongamos por el contrario que $\lfloor x \rfloor + \{x\} < 0$ ;
así que por la observación anterior, podemos concluir que: $\lfloor x \rfloor < 0$ ;
por lo que debemos tener: $$\lfloor x \rfloor . \{x\} \leq 0 \Longrightarrow 1 \leq 0; $$

lo cual es una obviedad contradicción .

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En su conclusión se ha definido: $n:=\lfloor x \rfloor$ ; y luego $\{ x \}:=\dfrac{1}{n}$ .

Pero el error en su conclusión es:

no te diste cuenta de eso:

$$0 \leq \dfrac{1}{n} < 1 \Longleftrightarrow n \in (1,\infty).$$