¿Cuando $dy/dx =0$ % todo $x$en el dominio, es $dx/dy$ también cero?

Question

¿Si $dy/dx = 0$ % todo $x$en el dominio, es también cero $dx/dy$? Esto parece problemático porque puede pensar en $dy/dx$ $0/1 = 0$ pero al invertir la parte superior e inferior de la fracción, la fracción es un número no válido.

Answer 1

Tenga en cuenta que $y$ es una función de $x$ $\displaystyle\frac{dy}{dx} = 0$, $y$ es una función localmente constante. Además como $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ existe para cada punto en el dominio, el dominio debe estar abierto. Como tal, $y$ no es una función inyectiva de $x$, por lo que no puede tener una inversa; en particular, $x$ no es una función de $y$ para que $\displaystyle\frac{dx}{dy}$ no tiene sentido en este contexto.

Answer 2

Si $dy/dx=0$, entonces el $dx/dy$ es infinito. Una manera de visualizar esto es que una función inversa $x(y)$ puede ser visto como una rotación de $90^{\circ}$ de la original función $y(x)$. En ese caso, una pendiente horizontal se convierte en una vertical por inversión.