disposición de los asientos de cuatro hombres y tres mujeres alrededor de una mesa circular

Question

¿De cuántas maneras puede $4$ hombres y $3$ las mujeres se arreglan en un cuento redondo si:

i) ¿las mujeres se sientan siempre juntas?
ii) ¿las mujeres nunca se sientan juntas?

Intenté las dos preguntas pero las respuestas que obtuve no coinciden con las dadas en la fuente. Esto es lo que hice:

Para (i) consideré a las mujeres como una unidad, que se pueden organizar en $3!$ formas, por lo que el número total de unidades sería $5$ que podríamos organizar en $4!$ maneras. Así que el total es $4! \cdot 3!$

Para (ii), se traduciría en mujeres sentadas en el $3$ espacios entre los hombres, así que consideré la mesa como dos separadas donde los hombres se sientan en $3!$ maneras, y las mujeres se sientan en $2!$ formas, por lo que el total sería $3! \cdot 2!$

Me gustaría saber en qué punto de mi razonamiento se ha caído.

Esto está siendo reutilizado en un esfuerzo por reducir los duplicados, ver aquí:

Cómo hacer frente a las preguntas abstractas duplicadas

y aquí: Lista de duplicados de resúmenes

Vea los enlaces relacionados en esta pregunta donde se pueden encontrar variantes que implican asientos en fila.

Answer 1

La parte I es correcta y hay otra forma de resolver la parte II. Comprueba si esto es algo que puedes entender fácilmente.

Elija dos hombres cualesquiera en ${4\choose2}$ y fijarlos como un M1. Se pueden permutar de 2 maneras. Ahora tienes tres hombres y tres mujeres pueden ser colocados M1-W1-M2-W2-M3-W3.Esta es la única manera de que todas las mujeres no se sientan juntas. Ahora fija M1 y este arreglo particular tiene el resto de los hombres permutados por 2! y tres mujeres permutadas por 3!. Así, el número total de formas en que las mujeres no se sientan juntas es ${4\choose2}\times 2\times2!\times3! =144$

Answer 2

Su respuesta a la primera pregunta es correcta. Esta es otra forma de verlo: En un círculo, si las tres mujeres se sientan juntas, también lo hacen los cuatro hombres. Por lo tanto, hay dos bloques, que pueden disponerse en $(2 - 1)! = 1! = 1$ alrededor de la mesa. Dentro del bloque de mujeres, éstas pueden disponerse en $3!$ formas. Dentro del bloque de hombres, los hombres se pueden organizar en $4!$ formas. Por lo tanto, hay $3!4!$ arreglos de tres mujeres y cuatro hombres alrededor de una mesa circular en la que todas las mujeres se sientan juntas.

Para el segundo problema, siente primero a los hombres. Como los cuatro hombres están sentados en círculo, hay $(4 - 1)! = 3!$ arreglos distintintos de los hombres. Esto deja cuatro espacios en los que colocar a las tres mujeres, una a la derecha de cada hombre. Podemos seleccionar tres de estos cuatro espacios en $C(4, 3)$ formas, y disponer a las mujeres dentro de los espacios seleccionados en $3!$ formas. Por lo tanto, el número de asientos posibles de cuatro hombres y tres mujeres alrededor de una mesa circular en la que no se sientan dos de las tres mujeres juntas es $3! \cdot C(4, 3) \cdot 3! = 6 \cdot 4 \cdot 6 = 144$ .

Su error en el segundo problema fue aplicar la regla $(n - 1)!$ dos veces. Una vez que los hombres están sentados, la rotación de las mujeres produce una nueva disposición. Para ver esto, supongamos que Andrew, Bruce, Charles y David están sentados alrededor de la mesa en orden contrario a las agujas del reloj. Supongamos que Elizabeth se sienta a la derecha de Andrew, Fiona se sienta a la derecha de Bruce y Gretchen se sienta a la derecha de Charles. Si cada mujer se desplaza hacia su derecha (pasando por delante de un hombre), Elizabeth está ahora a la derecha de Bruce, Fiona está a la derecha de Charles y Gretchen está ahora a la derecha de David. Claramente, esta es una disposición diferente.