Teorema de divergencia para un tensor de segundo orden

Question

Quiero integrar por partes la siguiente integral en coordenadas cilíndricas $$\int \vec{r} \times (\nabla \cdot \overline{T}) ~d^3\vec{r} $$ donde $\overline{T}$ es un tensor simétrico de segundo orden y $\times$ es el producto vectorial.

Una vez integrada por partes quiero utilizar el teorema de la divergencia para obtener una integral de superficie. Funciona muy bien en coordenadas cartesianas pero no consigo hacerlo correctamente en cilíndricas.

En coordenadas cilíndricas $\hat{\boldsymbol{\rho}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\mathbf{z}}$ ,

\begin{align}&\nabla \cdot \overline{T}= \left[ \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho T_{\rho\rho}) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T_{\theta \rho}}{\partial \theta} + \frac{\partial T_{z \rho }}{\partial z} - \frac{T_{\theta \theta}}{\rho} \right] \hat{\boldsymbol{\rho}} + \\ &\qquad\qquad\left[ \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho T_{\rho\theta}) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T_{\theta\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial T_{z\theta}}{\partial z} + \frac{T_{\theta \rho }}{\rho} \right] \hat{\boldsymbol{\theta}} + \\ &\qquad\qquad\left[ \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho T_{\rho z}) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T_{\theta z}}{\partial \theta} + \frac{\partial T_{z z}}{\partial z} \right] \hat{\mathbf{z}} \end{align}

He probado muchas formas diferentes (5 días estoy intentando hacerlo) de hacer la integración por partes, pero al comprobar numéricamente sé que mis resultados son erróneos. El valor que obtengo numéricamente parece ser más bien ( $\overline{T}$ es simétrico) \begin{align} \int \vec{r} \times (\nabla \cdot \overline{T}) ~d^3\vec{r}&= \oint \vec{r} \times \left( \hat{\boldsymbol{\rho}} \cdot \overline{T} \right) ~dS + \\ &\left( \int T_{\rho z} ~d^3\vec{r} - \int_0^{\rho_\text{max}} \left[ T_{\theta z}(2\pi) - T_{\theta z}(0) \right] ~\rho d\rho \right) \hat{\boldsymbol{\theta}} + \\ &\int_0^{\rho_\text{max}} \left[ T_{\theta\theta}(2 \pi) - T_{\theta\theta}(0) \right] \rho d\rho \hat{\mathbf{z}} \end{align} En primer lugar, no estoy seguro del resultado y, en segundo lugar, me gustaría saber cómo derivar esto analíticamente. ¿Alguien puede ayudarme? muchas gracias

Answer 1

Debo subrayar que la expresión $\mathbf{r}\times\nabla\cdot\mathbf{T}$ es independiente del sistema de coordenadas, mientras que la simetría de $\mathbf{T}$ se expresa fácilmente con respecto a las coordenadas cartesianas, entonces \begin{align} \mathbf{r}\times\nabla\cdot\mathbf{T} &=\mathbf{e}_i\varepsilon_{ijk}x_j\partial_lT_{kl}\\ &=\mathbf{e}_i\varepsilon_{ijk}\partial_l(x_jT_{kl})-\mathbf{e}_i\varepsilon_{ijk}(\partial_lx_j)T_{kl}\\ &=\mathbf{e}_i\varepsilon_{ijk}\partial_l(x_jT_{kl})-\mathbf{e}_i\varepsilon_{ijk}\delta_{jl}T_{kl}\\ &=\mathbf{e}_i\partial_l(\varepsilon_{ijk}x_jT_{kl})-\mathbf{e}_i\varepsilon_{ijk}T_{kj}\\ &=\mathbf{e}_i\partial_l(\varepsilon_{ijk}x_jT_{kl})\\ &=\nabla\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{T}). \end{align} El resultado obtenido es independiente del sistema de coordenadas utilizado, por lo que $$ \int_B\mathbf{r}\times\nabla\cdot\mathbf{T}\,dV=\int_B\nabla\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{T})\,dV $$ entonces aplicando el teorema de la divergencia, esto se convierte en $$ \int_{\partial B}\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{T})\,dS $$ ahora puedes evaluar este flujo en el sistema de coordenadas que prefieras.