Sobre la monotonía de la función $z \mapsto (z^{1-s}-1)/(z^s-1)$.

Question

During my work I have met the function $$ z \mapsto \frac{z^{1-s}-1}{z^s-1}, $$ which I consider for $z>1$ (say). The number $s \in (0,1)$ is a given parameter. I would like to prove that it is monotonically decreasing when $1/2

Answer 1

Escribe

$$f(z)=\frac{z^{1-s}-1}{z^s-1} =\frac{z-z^s}{z^{2s}-z^s} $$

Ahora, para un $z$ fijo y dado $\epsilon>0$, observa que $f(z)

$$\underbrace{z^{2s}(z+\epsilon)^{}+z^{}(z+\epsilon)^{s}+z^{s}(z+\epsilon)^{2s}}_{g(\epsilon)}< \underbrace{z^{2s}(z+\epsilon)^{s}+z^{s}(z+\epsilon)^{}+z^{}(z+\epsilon)^{2s}}_{h(\epsilon)}$$

Observa que $g(0)=h(0)=z^{1+2s}+z^{1+s}+z^{3s}$. Por otro lado, tenemos que

$$g'(\epsilon)=z^{2s}+zs(z+\epsilon)^{s-1}+z^s2s(z+\epsilon)^{2s-1}$$ $$h'(\epsilon)=z^{2s}s(z+\epsilon)^{s-1}+z^s+z2s(z+\epsilon)^{2s-1}$$

Así que

$$g'(0)=z^{2s}+sz^s+2sz^{3s-1} =z^s\left(s+z^s+2sz^{2s-1}\right)$$ $$h'(0)=sz^{3s-1}+z^s+2sz^{2s} =z^s\left(1+sz^{2s-1}+2sz^{s}\right)$$

Me gustaría mostrar que $g'(0)

\begin{align} s+z^s+2sz^{2s-1}&<1+sz^{2s-1}+2sz^{s}\\\iff sz+z^{1+s}+2sz^{2s}&

Ahora, tenemos que $u(1)=v(1)=s$. Por otro lado:

\begin{align} u'(z)&=2s^2z^{2s-1}\\ v'(z)&=(1-s)+(2s-1)(1+s)z^{s}\\ \end{align}

Es suficiente demostrar que $u'(z)1$.

Observa que $u'(1)=v'(1)=2s^2$. Por lo tanto, basta con demostrar que $u''(z)1$. Tenemos

\begin{align} u''(z)&=2s^2(2s-1)z^{2(s-1)}\\ v''(z)&=s(2s-1)(1+s)z^{s-1}\\ \end{align}

Ahora, $u''(z)

$$2s<1+s$$ $$z^{2(s-1)}

ambos de los cuales están implicados por $z>1$ y $s<1$. $\square$

Answer 2

Pista:  sea $f(z)$ la función dada, entonces $\;\;\displaystyle f'(z) = \frac{s z^{2 s-1} - (2s-1) z^{s} + s - 1}{z^s(z^s - 1)^2}\,$. El denominador es positivo, por lo que el signo de $\,f'(z)\,$ está dado por $\,g(z) = s z^{2 s-1} - (2s-1) z^{s} + s - 1\,$.

Pero $\,g(1) = 0\,$ y $\,g'(z) = s(2s-1)z^{s-1}(z^{s-1}-1) \lt 0\,$ para $\,z \gt 1, s \in (0,1)\,$, entonces $g(z) \lt 0$ para $z \gt 1\,$, y por lo tanto $\,f'(z) \lt 0\,$ en $(1,\infty)$.