Integrales infinitas $\int_0^{ + \infty } {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^n} + 1} \right)}}dx} .$

Question

Cómo calcular el %#% $ #%

Answer 1

Por extraño valores de n, utilice el hecho de que $~\dfrac n{(1+x)(1+x^n)}~=~\dfrac1{(1+x)^2}~+~\dfrac{P_{n-2}(x)}{1+x^n}~,~$ donde

$P_{n-2}(x)~=~\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}(n-k-1)(-x)^k,~$ en conjunción con la famosa identidad $~\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^{a-1}}{1+x^n}~dx$

$=~\dfrac\pi n\cdot\csc\bigg(a~\dfrac\pi n\bigg),~$ que puede ser probada mediante la sustitución de $t=\dfrac1{1+x^n}~,~$, seguido por

reconocer la expresión de la función beta de la nueva integral y, a continuación, el empleo de Euler

la reflexión de la fórmula para la $\Gamma$ función para simplificar el resultado. Para incluso los valores de n, una táctica similar

se aplica, con la advertencia de que las nuevas fórmulas se $~\dfrac2{(1+x)(1+x^n)}~=~\dfrac1{1+x}~+~\dfrac{R_{n-1}(x)}{1+x^n}~,~$

donde $~R_{n-1}(x)~=~\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-x)^k,~$ y la más importante la observación de que, para que incluso los valores

de n, $~\displaystyle\int_0^\infty\bigg(\frac1{1+x}-\frac{x^{n-1}}{1+x^n}\bigg)~dx~=~0.$

Answer 2

Tenemos $\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{dx}{(1+x)(1+x^n)}=\int_0^{\infty}\dfrac{dx}{1+x^n}-\int_0^{\infty}\dfrac{xdx}{1+x^n}$

$=\displaystyle\frac{1}{n}(B\Bigl(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n},\Bigr)-B\Bigl(\frac{2}{n},1-\frac{2}{n},\Bigr))=\dfrac{\pi}{n\sin(\pi/n)}-\dfrac{\pi}{n\sin(2\pi/n)}$.

Segundo intento. Tenemos

$\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{dx}{(1+x)(1+x^n)}$

$=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_0^\infty\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{x^{n-1}}{1+x^n}dx+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^k}{2}\int_0^\infty\dfrac{x^{n-k}}{1+x^n}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^k}{2}\int_0^\infty\dfrac{x^{n-k}}{1+x^n}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^k}{2n}B\Bigl(\frac{n-k+1}{n},1-\frac{n-k+1}{n}\Bigr)$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^k}{2n}\dfrac{\pi}{sin(\pi(n-k+1)/n)}$.