Ejercicio 3.18 de Curvas algebraicas de Fulton.

Question

Intento demostrar el siguiente hecho: Si $p$ es un punto simple de la curva $F$ entonces $I(p,F\cap G)=ord_p^F(G)$ . En $I(p,F\cap G)$ denota el número de intersección de las curvas en $p$ y $ord_p^F$ es la función de orden en el anillo de valoración discreta $\mathcal O_p(F)$ . El objetivo es utilizar sólo las siete propiedades de los números de intersección que él describe en el libro.

He probado con el caso especial cuando $p$ es un punto simple en $G$ y $F$ , $G$ no comparta ninguna tangente en $p$ en cuyo caso el número de intersección es uno. Pero no sé cómo calcular $ord_p^F(G)$ en este caso sencillo, incluso reduzco el problema a $G$ irreducible pero sin éxito. De hecho estoy teniendo problemas con cálculos de este tipo, cuando la función $ord$ estaría muy agradecido con una respuesta que me ayude en este aspecto. Muchas gracias.

Answer 1

Los axiomas de Fulton para el número de intersección son este .

Por $(3)$ podemos suponer $P=(0,0)$ y la tangente de $F$ en $P$ es $Y$ . Entonces podemos considerar $\overline X$ como parámetro uniformizador de $\mathcal O_P(F)$ . Sea $n=Ord^{F}_P(G)$ entonces en $\mathcal O_P(F)$ existe alguna unidad $u$ tal que $\overline G=u\overline X^n$ , digamos $u=\overline A/\overline B$ para algunos $A,B\in k[X,Y]$ entonces $A(P)\neq 0\neq B(P)$ como $u$ es una unidad. Entonces $GB=X^nA+CF$ para algunos $C\in k[X,Y]$ .

Tenemos $I(P,F\cap BG)=I(P,F\cap B)+I(P,F\cap G)$ por $(6)$ pero $P\notin B$ por lo tanto $(2)$ , $I(P,F\cap B)=0$ y, por tanto $I(P,F\cap BG)=I(P,F\cap G)$ .

Pero $$I(P, F\cap GB)=I(P,F\cap (X^nA+CF))=I(P,F\cap X^nA),$$ por $(7)$ Sin embargo, como $A(P)\neq 0$ demostramos $I(P,F\cap X^nA)=I(P,F\cap X^n)$ de la misma manera que mostramos $I(P,F\cap BG)=I(P,F\cap G)$ anterior, de modo que $I(P,F\cap G)=I(P,F\cap X^n)$ sino por $(6)$ $I(P,F\cap X^n)=nI(P,F\cap X)$ y por $(5)$ , $I(P,F\cap X)=1$ Así pues $I(P,F\cap G)=n$ es decir, $I(P,F\cap G)=Ord_P^F(G)$ .