Terminología sobre la continuidad de la discreta $a\sin(t)$

Question

Esta pregunta se refiere específicamente a la terminología utilizada para explicar un problema concreto y su solución, no a las matemáticas en sí. Soy programador, no soy realmente un matemático, pero tengo al menos una comprensión intuitiva de los conceptos que encuentro frecuentemente en la infografía.

Hace poco, un amigo estaba haciendo un trabajo de animación por ordenador que incluía una onda sinusoidal con una amplitud y un periodo que eran funciones del tiempo. Llamemos al valor $V$ , amplitud $a$ , punto $p$ , tiempo $t$ . Se encontró con un problema clásico en el que estaba haciendo:

$$ V(t)=a(t)\sin\left(\frac{2\pi t}{p(t)}\right) $$

Con $t$ se ajusta al tiempo transcurrido desde el inicio del programa, es decir $t=t_\text{now}-t_\text{start}$ . El problema, por supuesto, es que como $p(t)$ cambiado, se veían todo tipo de artefactos y la onda sinusoidal no tenía una transición suave en velocidad aparente. Me preguntó cómo resolver este problema. Le expliqué que tenía que trabajar con la fase actual en lugar de con el tiempo absoluto, incrementando cada fotograma en función del periodo, así (inicializando $t$ a 0):

$$ t = t + \frac{\Delta t}{p(t)} $$ $$ V(t)=a(t)\sin(2\pi t) $$

Entonces me lancé torpemente a dar una explicación (que al final requirió lápiz y papel) sobre cómo se quiere "moverse suavemente alrededor del círculo, incrementando para que los cambios de velocidad no salten a posiciones lejanas" en lugar de "saltar entre gráficos de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias" o algo así. Al final lo entendió, y afortunadamente comprendió intuitivamente lo que intentaba decir, pero hice un trabajo realmente pobre al explicarlo.

Así que mi primera pregunta es, y pido disculpas si esto es pedir demasiado, pero ¿cómo explicarías esto a alguien, de forma sucinta, utilizando términos matemáticos adecuados? Me doy cuenta de que hay muchas respuestas, pero actualmente sé 0 respuestas. ¿Cómo puedo explicar a alguien por qué el incremento de la fase basado en $\Delta{t}$ y $p(t)$ conduce a la continuidad, mientras que el cálculo del valor basado en el tiempo total transcurrido no lo hace?

Mi segunda pregunta es la siguiente: Mi amigo me preguntó entonces: "¿tengo que hacer lo mismo con la amplitud?". La respuesta es no (suponiendo que la "continuidad" de $a(t)$ es "suficientemente bueno"). Sin embargo, no podría explicar por qué. Es decir, intuitivamente, sabía por qué, y dije: "No. No conozco el término matemático para ello, pero el $a(t)$ está fuera del $\sin()$ para que funcione". ¿Cuáles son las palabras que buscaba ahí? ¿Cómo puedo explicar a alguien que $a(t)$ no sufre el mismo problema que el $t/p(t)$ ¿lo hizo? Sé que tiene que ver con la forma en que $\sin(x)$ varía con $x$ pero no sé la forma adecuada de describirlo.

Mi tercera pregunta es que en algún momento de este proceso estaba explicando por qué las dos ecuaciones anteriores eran idénticas para una constante $p(t)$ . Mi explicación consistió en algo así como: "Bueno, quiero decir que el tiempo transcurrido es el mismo que todos los tiempos delta sumados, así que puedes ver si sacas estos términos del $\sin()$ e incrementar en su lugar, el valor es el mismo". Incluso escribiendo eso, tiene muy poco o ningún sentido. En el papel escribí:

El original:

$$t=t_\text{now}-t_\text{start}$$ $$\sin\left(\frac{2\pi t}{p(t)}\right)$$

Es lo mismo que:

$$t=t+\Delta t$$ $$\sin\left(\frac{2\pi t}{p(t)}\right)$$

Es lo mismo que:

$$t=t+\frac{\Delta t}{p(t)}$$ $$\sin\left(2\pi t\right)$$

Cuando $p(t)$ es una función constante.

... pero no pude explicar por qué . ¿Cómo puedo explicar a alguien que incrementar por deltas cada fotograma es lo mismo que la diferencia entre el fotograma actual y el primer fotograma? ¿Existe alguna terminología que encapsule completamente esto para que no sea necesario un ejemplo?

Diablos, ni siquiera sé cómo se llama el problema fundamental, siempre me refiero a él como un "artefacto" en sentido genérico.

¿Cómo explicarías este problema y su solución a alguien?

Nota: Me doy cuenta de que estoy intercambiando generosamente "tiempo" (es decir, segundos) y "fase" más arriba - esto es realmente otro síntoma de mi incapacidad para expresar estos pensamientos con claridad.

Actualización:

He creado dos demostraciones en JavaScript que intentan ilustrar el problema:

• Ejemplo 1: El período es una función lineal de x (es decir, del tiempo)
• Ejemplo 2: El período es una función escalonada de x (es decir, del tiempo)
• Lo sentimos, los ejemplos ya no están en línea (11/11/15).

El primer ejemplo es un caso más típico en mi experiencia. El segundo ejemplo muestra el problema de forma muy nítida y puede ser más ilustrativo.

Básicamente, mi pregunta es: ¿Cómo podría explicar por qué el enfoque incorrecto es incorrecto, y por qué el enfoque correcto es correcto, sin utilizar imágenes o ejemplos animados, sino con un lenguaje matemático adecuado y claro?

Answer 1

El período de la función $f(t) = \sin\bigl(t \cdot (2\pi/k)\bigr)$ "en $t$ " es $k$ independientemente de $t$ . La cuestión es cómo ampliar la definición si el periodo no es constante.

El "período" de la función $f(t) = \sin\bigl(P(t)\bigr)$ en $t$ es razonablemente definido para ser $2\pi$ veces la tasa recíproca de cambio de fase con respecto a $t$ es decir, $2\pi/P'(t)$ . Es decir, el inclinación (no la magnitud) de $P$ determina el "período variable".

Por lo tanto, si el "período variable" $p(t)$ se debe especificar, entonces $p(t) = 2\pi/P'(t)$ . La función $P(t)$ se encuentra entonces integrando $2\pi/p(t)$ . Esto es lo que aproxima su esquema numérico.

La estrategia "sin trabajo" trata el período constante $k$ como parámetro algebraico (y lo sustituye por una función no constante $p(t)$ ), en lugar de como una tasa de cambio recíproca, $2\pi$ dividido por la derivada de $P(t) = 2\pi t/k$ .

La amplitud, por el contrario, es simplemente la magnitud de $a(t)$ Así que el esquema "incorrecto" para el periodo "funciona" para la amplitud.

Answer 2

Ejemplos de resultados

Para que esto sea más autónomo, parafrasearé los dos pares de resultados de ejemplo enlazados en el OP.

"El objetivo es una onda sinusoidal en la que el periodo es una función de x. El ejemplo utiliza un periodo=80 en x=0, disminuyendo linealmente hasta un periodo=20 en x=600, manteniéndose después en 20 (el rango de x es de 0 a 800)."

Bien:

Mal:

"El objetivo es una onda sinusoidal donde el periodo es una función de x. El ejemplo utiliza una función escalonada donde el periodo=80 para x<390, y el periodo=120 para x>=390".

Bien:

Mal:

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Explicaciones

0. Explicación del objetivo

Los ejemplos del PO dejan claro lo que buscamos a nivel intuitivo, pero ¿qué significa realmente "una onda sinusoidal cuyo periodo es función de x"? Para que se llame onda, es mejor que sea continua. Pero para que tenga un "periodo" en un momento determinado, tenemos que encontrar una forma de detectar el periodo de una onda sinusoidal basándonos en información local, y podemos usar eso como nuestra definición. Afirmo que si $|f'(t)|$ en el punto es igual a la derivada de la onda sinusoidal de período adecuado $p$ cuando esa onda sinusoidal está a la altura $f(t)$ entonces deberíamos decir "el período de $f$ en $t$ es $p$ "(nótese que cuando $f(t)=\pm1$ entonces $|f'(t)|=0$ y "el período en $t$ es $p$ " es cierto para todos los $p$ ).

Justificación de la demanda (puede saltarse esto si es geométricamente intuitivo):

Si tenemos una onda sinusoidal de período constante $p>0$ (y amplitud $1$ ), entonces también podemos elegir $s(t)=\sin(2\pi t/p+\phi)$ y afirmo que podemos detectar el periodo mediante el uso de la derivada: $s'(t)=(2\pi/p)\cos(2\pi t/p+\phi)$ . Tenga en cuenta que $$|s'(t)|=\frac{2\pi}p\sqrt{\cos^2(2\pi t/p+\phi)}=\frac{2\pi}p\sqrt{1-\sin^2(2\pi t/p+\phi)}=\frac{2\pi}p\sqrt{1-\left(f(t)\right)^2}\text{,}$$ para que $p=2\pi\sqrt{1-\left(s(t)\right)^2}/|s'(t)|$ . Si tienes dos ondas sinusoidales con la misma altura y derivada-magnitud en algún lugar, entonces tienen el mismo periodo. A la inversa, como puedes resolver esa última ecuación para $|s'(t)|$ si tienen la misma altura y el mismo periodo, entonces tienen la misma magnitud derivada (esto tiene sentido porque una podría estar subiendo y la otra bajando).

1a. ¿Por qué funciona el buen método?

El OP dijo "Esencialmente el enfoque correcto es algo así como el cálculo de una integral discreta, tal vez". Efectivamente, el resultado de sumar $(\Delta t)/p\left(t\right)$ a $t$ en cada etapa (para las pequeñas $\Delta t$ ) es una aproximación a $\int_{0}^{t}1/p\left(\tau\right)\,\mathrm{d}\tau$ . El buen método es aproximar una función como $$f(t)=\sin\left(2\pi\int_{0}^{t}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau\right)\text{.}$$ Para que el periodo sea correcto, esperamos que tenga derivadas (al menos hasta un cambio de signo) $$\frac{2\pi}{p(t)}\cos\left(2\pi\int_{0}^{t}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau\right)$$ en cada punto de continuidad de $p$ y por la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo, podemos ver que sí. Además, el signo de $f'$ no se voltea repentinamente porque aunque $p(t)$ cambia repentinamente en los puntos de discontinuidad, sigue siendo positiva en todas partes, y la parte del coseno es de la derivada es continua porque las integrales como ésta de funciones razonables son siempre continuas (véase el Lemma 6.1 en estas notas de clase ).

1b. ¿Por qué falla el método malo? y 3. Pero por qué no si $p$ es constante?

En la parte 0, dijimos que tener el periodo correcto a una altura determinada significa tener el $|f'(t)|$ . Sólo tenemos que demostrar que, en general, el método malo no nos da eso. Si utilizamos $f(t)=\sin(2\pi t/p(t))$ entonces esperamos una derivada de $(2\pi/p(t))\cos(2\pi t/p(t))$ pero (suponiendo que $p$ es diferenciable) obtenemos una derivada de $$2\pi\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{t}{p(t)}\right)\cos\left(2\pi\frac{t}{p(t)}\right)=2\pi\left(\frac{1}{p(t)}-t\frac{p'\left(t\right)}{\left(p\left(t\right)\right)^{2}}\right)\cos\left(2\pi\frac{t}{p(t)}\right)\text{.}$$ El error en este método es causado por el término con $-tp'(t)/\left(p(t)\right)^2$ que es cero cuando $t=0$ (el punto de partida), $\cos=0$ (la función es $\pm1$ por lo que la derivada es simplemente $0$ ), o $p'(t)=0$ ( $p$ es constante cerca de $t$ ).

Pero ¿qué pasa si $p$ es constante a dos lados de una discontinuidad de salto? Entonces $sin(2πt/p(t))$ será probablemente discontinua allí. Ese es un problema diferente con el método malo en comparación con lo que he explicado anteriormente, que cubre el primer ejemplo, pero no explicó realmente el ejemplo de la función de paso.

2. ¿Qué pasa con $a(t)$ ?

Primero hay que tener en cuenta que si $a(t)$ es constante y positivo, puedes simplemente pegar $a$ delante de todas las fórmulas anteriores y nada cambia realmente. Ahora bien, los ejemplos del OP tenían ambos $a=1$ pero voy a suponer que el objetivo es que las cosas sigan pareciendo ondas sinusoidales. Las soluciones discutidas anteriormente son ondas sinusoidales con un mínimo $-1$ y el máximo $1$ por lo que si queremos estirar/rebajar las cosas verticalmente en la entrada $t$ por un factor de $a(t)$ sustituimos $y$ por $y/(a(t))$ (al igual que el estiramiento horizontal por un factor constante está sustituyendo $t$ con $t/p$ ). Pero $y/(a(t))=\sin(\text{whatever})$ equivale a $y=a(t)*\sin(\text{whatever})$ . No es como estirar horizontalmente lo que podría estropear los puntos cercanos; lo hacemos en cada $t$ independientemente, así que no hay nada más de qué preocuparse.

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Bonificación: ¿Cómo podríamos encontrar todos los buenos métodos?

Olvidemos por un momento esta situación discreta y preguntémonos lo siguiente: Supongamos que $p(t)$ es algo continua a trozos , estrictamente positiva, función. ¿Qué función(es) continua(s) $f(t)$ con $|f(t)|\le1$ tener el período $p(t)$ en cada punto de continuidad de $p$ y los signos de la derivada izquierda y derecha coinciden donde $p(t)$ ¿es discontinuo? Podemos dividir esto en dos partes: resolver el problema para los continuos $p$ y la unión de las soluciones para otros $p$ .

Funciones de periodo continuo

Nuestro trabajo anterior nos dice que el período de tener $p(t)$ significa $|f'(t)|=2\pi\sqrt{1-\left(f(t)\right)^2}/p(t)$ donde esto tiene mucho sentido ya que $|f(t)|\le1$ y $p(t)>0$ . Esto puede parecer un poco aterrador, pero es esencialmente una ecuación diferencial separable: $$\left|y'\right|=2\pi\sqrt{1-y^{2}}/p\left(t\right)\Rightarrow\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\pm2\pi\sqrt{1-y^{2}}/p\left(t\right)$$ Si $\left|y\right|=1$ entonces $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t=0$ . Si no, podemos dividir para obtener: $$\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\mathrm{d}y=\pm\frac{2\pi}{p\left(t\right)}\mathrm{d}t\Rightarrow\arcsin y=\pm2\pi\int_{t_{0}}^{t}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau+C$$$$\Rightarrow y=\sin\left(\pm2\pi\int_{t_{0}}^{t}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau+C\right)$$ (Tenga en cuenta que para estos $y$ , $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t=0$ siempre que $\left|y\right|=1$ Así que en realidad no perdimos ese caso especial).

Para generar las imágenes como en los ejemplos, debemos forzar $f(0)=0$ y $f'(0)>0$ . La primera condición hace que $C=2\pi k$ o $C=\pi+2\pi k$ pero $\sin(x+\pi+2\pi k)=-\sin x=\sin(-x)$ Así pues, el $\pm$ signo nos permite tomar con seguridad $C=0$ . Desde $f'(0)=\pm(2\pi/p(0))\cos(0)$ deberíamos elegir el $+$ signo, y para los continuos $p$ tenemos la solución $$f(t)=\sin\left(2\pi\int_{0}^{t}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau\right)\text{.}$$

Funciones de periodo arbitrario

Ahora bien, si $p$ es discontinuo, podríamos tener que dividirlo en casos separados. Supongamos que $p$ es primero discontinuo en $t_1>0$ con límite izquierdo $p_\ell(t_1)$ y límite derecho $p_r(t_1)$ . Entonces la solución a la izquierda de $t_1$ viene dada por la fórmula anterior, y tiene la derivada (izquierda) en $t_1$ dado por $$\frac{2\pi}{p_\ell(t_1)}\cos\left(2\pi\int_{0}^{t_1}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau\right)\text{.}$$ Desde $f$ se supone que es continua en $t_1$ la solución a la derecha de $t_1$ viene dada por $$\sin\left(\pm2\pi\int_{t_{1}}^{t}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau+2\pi\int_{0}^{t_1}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau\right)$$ para una determinada elección de signo para $\pm$ . La derivada (derecha) en $t_1$ viene dada por $$\pm\frac{2\pi}{p_r(t_1)}\cos\left(\pm2\pi\int_{t_{1}}^{t_1}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau+2\pi\int_{0}^{t_1}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau\right)=\pm\frac{2\pi}{p_r(t_1)}\cos\left(2\pi\int_{0}^{t_1}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau\right)\text{.}$$ Desde $p_\ell(t_1),p_r(t_1)>0$ el signo coincide correctamente cuando el $+$ se elige el signo. Podemos repetir este argumento en cada discontinuidad, de modo que la fórmula original $f(t)=\sin\left(2\pi\int_{0}^{t}(1/p\left(\tau\right))\,\mathrm{d}\tau\right)$ todavía funciona tal y como está escrito, incluso para los discontinuos $p$ ¡!

Discretización

Una forma estándar de discretizar la solución exacta anterior es sustituyendo la integral en lo anterior por $$\int_{0}^{t}\frac{1}{p\left(\tau\right)}\mathrm{d}\tau\rightsquigarrow\sum_{k=1}^{t/\Delta t}\frac{\Delta t}{p\left(k\Delta t\right)}\text{.}$$ Pero eso es sólo el " suma de la derecha ". Puede utilizar el suma de la izquierda o un regla trapezoidal o La regla de Simpson etc. Ahora que sabemos que la solución exacta implica una integral, podemos utilizar cualquier método simple o avanzado para aproximar esa integral.

Answer 3

El término que creo que buscas es "cambio de variables". Sin embargo (como usted admite) su fraseo y notación lo hace difícil de ver. Voy a escribir aquí lo que creo que quieres hacer y puedo editarlo si es incorrecto.

Tiene la función $$ V(t)=a(t)\sin\left(\frac{2\pi t}{p(t)}\right) $$ y se quiere graficar considerando un conjunto de valores $t_n$ donde se pasa de uno a otro por $$ t_{n+1}=t_n+\Delta t_n $$ y $\Delta t_n$ es su tamaño de paso, que puede variar. La función cambia rápidamente en algunas áreas y lentamente en otras, específicamente es la segunda derivada, se trazan líneas rectas y por lo tanto es la tasa en la que la función se desvía de las líneas rectas lo que le causa problemas al considerar el tamaño del paso constante.

Una solución es cambiar las variables a un nuevo "tiempo reescalado" que denotaremos como $s$ y definir como $$ s=\frac{t}{p(t)} $$ En esta variable haremos pasos de tamaño constante, y los pasos de tiempo que se deben dar en la variable $t$ se puede hacer ingeniería inversa a partir de nuestro paso en $s$ . Denotemos nuestro tamaño de paso constante en $s$ como $\Delta s$ . Así, $$ s_{n+1}=s_n+\Delta s $$ utilizando la definición de $s$ obtenemos \begin{align} \frac{t_{n+1}}{p(t_{n+1})}&=\frac{t_n}{p(t_n)}+\Delta s \\ \therefore \: \Delta s&=\frac{t_{n+1}}{p(t_{n+1})}-\frac{t_n}{p(t_n)} \\ &\approx\frac{t_{n+1}}{p(t_{n})}-\frac{t_n}{p(t_n)} \\ &=\frac{\Delta t_n}{p(t_n)} \end{align} Y, por último, podemos escalonar el tiempo como $$ t_{n+1}=t_{n}+\Delta t_n\approx t_{n}+p(t_n)\Delta s $$ Supongo que esto es equivalente a lo que estás usando, no puede ser lo que creo que estás diciendo ya que eso no solucionaría tu problema.

Releyendo tu pregunta hay varias cosas que están mal así que intentaré abordarlas, creo que ya he contestado a la primera.

Si a(t) es aproximadamente constante, entonces no, sí que hay que reescalar, pero sólo porque se puede decir $a(t)\approx a$ en cuyo caso no deberías considerarlo como una función sino como una constante. Si lo consideras una función, ¡debes reescalar!

El aumento del valor en un pequeño incremento debe ser igual al tiempo total transcurrido. Una explicación completa en forma de texto sería complicada, pero si se dibuja una línea de tiempo con todos los $t_n$ marcado en entonces la diferencia entre dos adyacentes es un paso, y el total entre los tiempos iniciales y actuales como la suma de todos los pasos. ¡Sólo hay que hacer el dibujo!

Creo que has terminado con un programa que traza una función diferente a la que quieres. Fíjate en que la diferencia entre "correcto" e "incorrecto" en tus ejemplos es algo más que la precisión del trazado. El método "incorrecto" traza mal la función correcta y el método "correcto" traza mal la función incorrecta. Lo has hecho mal. Intenta hacer los ajustes aquí y ver qué pasa.