¿Cómo escribo la delta de Dirac en 2D en una forma manifiestamente invariante de la rotación?

Question

Consideremos la siguiente integral sobre un plano 2D,

$$\iint \mathrm{d}^2\mathbf{k}\ e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} = 4\pi^2\delta^2(\mathbf{r})$$

Se trata de una transformada de Fourier de una distribución que es rotacionalmente simétrica en torno al origen, por lo que el resultado también debería ser rotacionalmente simétrico en torno al origen. Así que debería ser expresable en términos de la magnitud de $\mathbf{r}$ sólo, es decir, en términos de $r \equiv \lVert\mathbf{r}\rVert$ .

$$\iint \mathrm{d}^2\mathbf{k}\ e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} = 4\pi^2 f(r)$$

¿Cuál es la expresión matemática adecuada para $f(r)$ ¿ si es que existe?

Claramente $f(r) = \delta(r)$ es inadecuado porque no tiene las unidades adecuadas. El análisis dimensional sugiere que podría ser algo como $f(r) = \frac{1}{r}\delta(r)$ pero me gustaría tener algún tipo de justificación matemática en lugar de una simple suposición.

He mirado Función delta en coordenadas curvilíneas pero esa cuestión es algo más abstracta, además de que no parece eliminar la dependencia de $\theta$ como me gustaría hacer.

Answer 1

Expresiones como $\delta(r)/r$ no suelen definir una distribución. Pero si definimos una distribución $T$ al establecer

$$T(\phi)=\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} \phi(r\cos \theta,r\sin\theta) \delta(r) \mathrm dr \mathrm d\theta=\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} \phi(r\cos \theta,r\sin\theta) (\delta(r)/r) r \mathrm dr \mathrm d\theta$$

para las funciones de prueba $\phi$ entonces $T=2\pi \delta(\mathbf x)$ . Así que, de manera informal, $\delta(\mathbf x)=\delta(r)/2\pi r$ .

Answer 2

Dependiendo del gusto, algunas trampas en el comportamiento cerca de $0$ puede evitarse de la siguiente manera. Dada una distribución invariante de la rotación (tal vez templada) $u$ en $\mathbb R^n$ para la función de prueba $f$ , dejando que $K=SO(n)$ sea el grupo de rotación, $$ u(f) = {1\over |K|} \int_K u(k\cdot f)\;dk = {1\over |K|} u\Big(\int_K k\cdot f\;dk\Big) $$ donde $dk$ se refiere a una medida invariante ("Haar") sobre $K$ , $|K|$ es la medida total de $K$ y el intercambio de la integral con la aplicación de $u$ puede justificarse en varios niveles de sofisticación. (El punto clave es que $K$ es compacto y que las rotaciones son mapas bien continuos sobre funciones... Mi propia preferencia general por tales justificaciones se refiere a las integrales "débiles" de Gelfand-Pettis, pero hay muchas alternativas).

El punto al que apunto aquí es que el promedio de rotación $f$ en función del radio, es una función de prueba par en $\mathbb R$ . A la inversa, una función de prueba par en $\mathbb R$ da una función de prueba rotacionalmente invariante en $\mathbb R^n$ . Funciones lineales continuas sobre funciones de prueba rotacionalmente invariables sobre $\mathbb R^n$ están por tanto naturalmente en biyección con funcionales lineales continuos sobre funciones de prueba pares en $\mathbb R$ . Es decir, se evita hablar de una "arista" en "r=0".