Visualizar el teorema de Frobenius

Question

Dado un campo vectorial suave $v$ (finito dimensionales) colector $M$, uno puede encontrar el asociado curvas integrales es decir, integral submanifolds de M tales que el espacio de la tangente en cualquier punto de $p\in M$ es distribuido por $v_p$. Suave, un campo vectorial puede ser contemplado como un suave especificación de subespacios' del espacio de la tangente en cada punto.

Sin embargo, dado suave campos vectoriales $v_1,...,v_r$ no puede existir un regular submanifold de $M$ de manera tal que el espacio de la tangente en cada punto de la submanifold es atravesado por estos campos vectoriales (evaluado en el punto).

Teorema de Frobenius nos da condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una integral de submanifold'.

Sin embargo, yo no soy capaz de ver visualmente por qué la integral submanifolds no puede ser encontrado, en general, y por qué algunas condiciones son de hecho necesarios en los campos vectoriales.

1.) Es posible encontrar un ejemplo de 2 campos vectoriales en $\mathbb{R}^3$ que no admiten una integral submanifold y que esto es claro por "mirar" de manera gráfica en los campos vectoriales.

2.) El tema se discutió anteriormente tiene nada que ver con el hecho de que (Whitney del teorema) que todos los $n$ dimensiones del colector (satisfacer algunas condiciones adecuadas puede ser) encuentra una incrustación en $\mathbb{R}^{2n+1}$, pero no necesariamente en $\mathbb{R}^{n+1}$ ? Independientemente de si es o no, soy incapaz de ver la necesidad de ir a $2n+1$ dimensiones gráficamente y agradecería si hay una forma intuitiva de entender.

Respuestas parciales/ comentarios/ referencias son muy apreciados.

Answer 1

Siguiente ejemplo proviene de John Lee la Introducción a la Suave Colectores y respuestas 1) en el espíritu de Tim comentario.

Considere la posibilidad de una distribución lineal $D$ $\mathbb{R}^3$ distribuido por $X = \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial z}$, $Y = \frac{\partial}{\partial y}$. Si $N$ sería un integrante del colector luego de tangencia en $(0,0,0)$ $X$implicaría que $N$ contiene algún pequeño barrio que contengan $[(0,0,0),(x,0,0)]$ y tangencia a $Y$ $(x,0,0)$ punto implicaría que $N$ $(0,0,0)$ contiene un subconjunto de a $xy$ plano, que es imposible, porque la $N$ es tangente a $xy$ plano sólo en $x$-eje.

¿Por qué es eso? Sólo porque $[X, Y] = -\frac{\partial}{\partial z} \neq 0$.