Área de triángulo a través de vectores

Question

No entiendo la fórmula de un libro que

$$\text{Area of }\triangle ABC = \frac{1}{2}|CA \times CB|$$

¿Esto procede?

La explicación dada por el libro fue:

$$\text{Area of } \triangle ABC = \frac{1}{2}ab \sin{C} = \frac{1}{2}|CA||CB| \sin{C}$$

Creo que se refiere a $\angle ACB$

Answer 1

Se puede demostrar (a través de diversos medios) que $$|{\bf a} \times {\bf b}|^2 = ({\bf a} \times {\bf b}) {\bf\cdot} ({\bf a} \times {\bf b}) = |{\bf a}|^2|{\bf b}|^2 - ({\bf a}{\bf\cdot} {\bf b})^2.$$

Teniendo en cuenta que $${\bf a}{\bf\cdot} {\bf b} = |{\bf a}||{\bf b}|\cos(\theta)$$ where $\theta$ is the angle between ${\bf a }$ and ${\bf b}$, we have that $$|{\bf a}|^2|{\bf b}|^2 - |{\bf a}|^2|{\bf b}|^2\cos^2(\theta) = |{\bf a}|^2|{\bf b}|^2(1-\cos^2(\theta))= |{\bf a}|^2|{\bf b}|^2\sin^2(\theta).$$ Taking square roots and keeping in mind that $0 \leq \theta \leq \pi$ so that $\sin(\theta)\geq 0$, we have $$|{\bf a} \times {\bf b}| = |{\bf a}||{\bf b}|\sin(\theta).$$

Mirando el (mal dibujada) de la imagen, observe que el triángulo de color naranja del lado opuesto tiene una longitud de $|{\bf b}|\sin(\theta)$. Así, el área del paralelogramo es la base de $\times$ height = $|{\bf a}||{\bf b}|\sin(\theta)=|{\bf a} \times {\bf b}|$.

Para hallar el área del triángulo (en rojo) simplemente tenemos que picar el paralelogramo en la mitad. Por lo tanto $\frac{1}{2}|{\bf a} \times {\bf b}|$ da el área del triángulo.

Answer 2

Vamos a observar la imagen de abajo:

$h= |\vec{CB}|\sin C\Rightarrow A=\frac{1}{2} |\vec{CA}| |\vec{CB}|\sin C=\frac{1}{2}|CA \times CB|$