Encontrar la solución particular de $L[y]=y''+y=\cos(t)\cos(2t)$
Aquí mis pasos:
Homogénea: $y''+y=0$
Las raíces de $+i$ $-i$
Solución General: $y(t)=c_1\cos(t)+c_2\sin(t)+\psi(t)$
Ya que estamos tratando con coseno entonces podemos reescribir el lado derecho como:
$y''+y=e^{it}e^{2it}=e^{{it}(1+2)}v$
Ahora a adivinar:
Vamos a:
$\psi=e^{{it}(1+2)}v$
$\psi'=e^{{it}(1+2)}v'+3ie^{{it}(1+2)}v$
$\psi''=e^{{it}(1+2)}v''+3ie^{{it}(1+2)}v'+3ie^{{it}(1+2)}v'-9e^{{it}(1+2)}v$
Enchufe de nuevo en $L[y]$:
$L[y]=e^{{it}(1+2)}v''+6ie^{{it}(1+2)}v'-9e^{{it}(1+2)}v+e^{{it}(1+2)}v=e^{{it}(1+2)}v$
Dividir ambos lados por $e^{{it}(1+2)}$
Obtenemos:
$L[y]=v''+6iv'-9v+v=v''+6iv'-8v=1$
Vamos a:
$v(t)=a_0+a_1t+a_2t^2$
$v'(t)=a_1+2ta_2$
$v''(t)=2a_2$
Enchufe de nuevo en:
$L[y]=v''+6iv'-9v+v=v''+6iv'-8v=1$
$L[y]=2a_2+6ia_1+12ita_2-8a_0-8a_1t-8a_2t^2=1$
Igualando coeficientes: $$2a_2+6ia_1-8a_0=1$$ $$ 12ia_2-8a_1=0$$ $$-8a_2=0$$
a partir de ahí me dieron:
$$ a_2=0$$ $$ a_1=0$$ $$a_0=\frac{-1}{8}$$
Volver a conectar en $v(t)$
$$v(t)=\frac{-1}{8}$$
Volver a conectar en $\psi=e^{{it}(1+2)}v$
$$\psi=e^{{it}(1+2)}\frac{-1}{8}$$
Sustitución de la exponencial, con senos y cosenos. La solución particular debe contener valores reales desde el lado derecho tiene coseno.
$$\psi=[\cos(t)+i\sin(t)][\cos(2t)+i\sin(2t)]\frac{-1}{8}$$
Yo sólo multiplica las partes reales:
$$\psi=\frac{-1}{8}[\cos(t)\cos(2t)-\sin(t)\sin(2t)]$$
El interior se ve como la suma y el ángulo de la fórmula tenemos que:
$$\psi=\frac{-1}{8}\cos(2t+t)$$
pero, lamentablemente, me salió mal desde la tecla de respuesta dice:
$\psi(t)=-\frac{1}{16}\cos(3t)+\frac{1}{4}t\sin(t)$
Honestamente, no estoy seguro de dónde me salió mal
