Podemos encontrar los coeficientes de $P(x)=a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2 +a_1 x +a_0$ mediante el cálculo de $P(100)$?
Ejemplo 1:
Vamos $$P_1(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4).$$ La forma expandida de $P_1(x)$ es $$P_1(x)= x^4 + 10 x^3 + 35 x^2 + 50 x + 24.$$
Para $x=100$, obtenemos $$P_1(100)=110355024.$$
Dividir 110355024 por 2 dígitos de la derecha a la izquierda, obtenemos $$P_1(100) \rightarrow 1/10/35/50/24$$ Mirando 1/10/35/50/24, vamos a encontrar los coeficientes de $P_1(x)$: $$P_1(100) \rightarrow 1/10/35/50/24 \rightarrow 1x^4 + 10 x^3 + 35 x^2 + 50 x + 24.$$
Ejemplo 2:
Vamos $$P_2(x)=-(x+1)(x+2)(x+3)(x+4).$$ La forma expandida de $P_2(x)$ es $$P_2(x)= -x^4 - 10 x^3 - 35 x^2 - 50 x - 24.$$
Para $x=100$, obtenemos $$P_2(100)=-110355024.$$
Dividir -110355024 por 2 dígitos de la derecha a la izquierda, obtenemos $$P_2(100) \rightarrow -(1/10/35/50/24)$$ Buscando -(1/10/35/50/24), vamos a encontrar los coeficientes de $P_2(x)$: $$P_2(100) \rightarrow -(1/10/35/50/24) \rightarrow -1x^4 - 10 x^3 - 35 x^2 - 50 x - 24.$$
Ejemplo 3:
Vamos $$P_3(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x+4).$$ La forma expandida de $P_3(x)$ es $$P_3(x)=x^4 - 2 x^3 - 13 x^2 + 38 x - 24.$$
Para $x=100$, obtenemos $$P_3(100)=97873776.$$
Dividir 97873776 por 2 dígitos de la derecha a la izquierda, obtenemos $$P_3(100) \rightarrow 97/87/37/76$$ Desde $76>50$, la transferencia de $97/87/37/76$ en $$P_3(100) \rightarrow 97/87/(37+1)/(76-100)\rightarrow 97/87/38/-24$$ Desde $38<50$, dejamos $38$ solo. Desde $87>50$, la transferencia de $97/87/38/-24$ en $$P_3(100) \rightarrow (97+1)/(87-100)/38/-24\rightarrow 98/-13/38/-24$$ Desde $98>50$, la transferencia de $98/-13/38/-24 \rightarrow 0/98/-13/38/-24$ en $$P_3(100) \rightarrow (0+1)/(98-100)/-13/38/-24\rightarrow 1/-2/-13/38/-24.$$
Mirando 1/-2/-13/38/-24, vamos a encontrar los coeficientes de $P_3(x)$: $$P_3(100) \rightarrow 1/-2/-13/38/-24 \rightarrow x^4 - 2 x^3 - 13 x^2 + 38 x - 24$$
De manera más general, tenemos una propuesta.
La proposición:
Deje $P(x)=a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2 +a_1 x +a_0$.
Si $a_i\in \mathbb{Z}\cap [-49;50]$ $\left( i=\overline{1,4} \right)$, a continuación, podemos encontrar $a_i \left(i=\overline{1,4}\right)$ mediante el cálculo de $P(100)$ y el uso de algoritmo que se muestra en los 3 anteriores ejemplos.
Pregunta:
Es que la proposición es verdadera o falsa?
Si la proposición es falsa, por favor, dame algunos ejemplos de lo contrario.
Si la proposición es verdadera, por favor, dame algunas pistas para demostrar la proposición.
