Es cualquier subconjunto de un producto directo isomorfo a un producto directo de los subgrupos?

Question

Esta pregunta se planteó en el contexto de este problema:

Deje $G$ $G'$ grupos y $V$ a un subgrupo de $G\times G'$. ¿Existen subgrupos $H \leq G$ $H'\leq G'$ tal que $V \cong H\times H'$?

En el caso de que la respuesta es "no": ¿hay restricciones razonables a $G$ $G'$ de manera tal que la respuesta es "sí"? Para finitos abelian grupos, la respuesta parece ser que sí.

Aclaración

Mi pregunta es sobre el subgrupo $V$ ser isomorfo a un producto directo de los subgrupos. Esta condición es estrictamente más débil que ser igual a un producto directo de los subgrupos: Para la "igualdad" de la versión, el clásico contraejemplo es la diagonal de los subgrupos $V = \langle (1,1)\rangle \leq G\times G$ donde $G$ puede ser de cualquier grupo, pero la trivial. Sin embargo, esto no proporciona un contraejemplo a mi pregunta, ya que el $V\cong G\times\{1\}$.

Answer 1

Esto se basa en el comentario de @Derek Holt:

Un contraejemplo es dada por el subgrupo $$V = \{(g,h) \in S_3\times S_3 \mid \operatorname{sgn}(gh) = +1\}$$ de $S_3\times S_3$.

Razón:

Desde $V$ es el núcleo del grupo epimorphism $$S_3\times S_3\to \{\pm 1\},\quad (g,h)\mapsto \operatorname{sgn}(gh),$$ $V$ es de hecho un subgrupo y $[S_3\times S_3 : V] = 2$. Por lo $\lvert V\rvert = 18$.

Suponga que $V$ es isomorfo al producto directo de dos grupos de $S_3$. Luego, por su orden, hasta el intercambio de los factores no es sólo la posibilidad de $V\cong A_3\times S_3$. Ahora, el grupo $A_3\times S_3$ contiene elementos de orden $6$ (por ejemplo,$((1,2),(1,2,3))$, mientras que $V$ no. (Hasta el intercambio de los componentes de un elemento de orden $6$ $S_3\times S_3$ es un par formado por una transposición $\tau$ $3$ciclo $\sigma$. Porque de $\operatorname{sgn}(\tau\sigma) = -1$, $(\tau,\sigma)\notin V$.)

Contradicción.

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Si $G$ $G'$ son grupos finitos de coprime orden, entonces la afirmación es verdadera. En este caso podemos incluso conseguir la igualdad en la instrucción $V \cong H\times H'$, ver esta respuesta por usuario.

Answer 2

Subgrupos de producto Directo de grupos que se describen por los Goursat del Lexema. Aquí está el enlace de wikipedia para que

http://en.wikipedia.org/wiki/Goursat%27s_lemma