Encontrar una base dual

Question

Esta es una de mis preguntas de los deberes - estoy bastante seguro de que entiendo parte de ella.

Dejemos que $V=\Bbb R^3$ y definir $f_1, f_2, f_3 \in V^*$ de la siguiente manera: $$f_1(x,y,z) = x - 2y;\quad f_2(x,y,z) = x + y + z; \quad f_3(x,y,z) = y - 3z.$$ Demostrar que $\{f_1, f_2, f_3\}$ es una base para $V^*$ (son linealmente independientes, por lo que esta parte es cierta), y luego encontrar una base para $V$ para el que es la base dual. El libro de texto hace un trabajo horrible como explicación de las bases duales en general. ¿Puede alguien explicarme los métodos que hay detrás de la formulación de la base dual aquí?

Gracias.

Answer 1

Necesitas encontrar vectores

$$ e_1 = (x_1,y_1,z_1), e_2 = (x_2,y_2,z_2), e_3 = (x_3,y_3,z_3), $$

para que

$$ f_i(e_j) = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases} $$

Escriba lo que esto significa para $e_1$ :

$$ x_1 - 2y_1 = 1 \\ x_1 + y_1 + z_1 = 0 \\ y_1 - 3z_1 = 0 $$

y resolver para $x_1,y_1,z_1$ . A continuación, haga lo mismo para $e_2$ y $e_3$ .

Answer 2

En primer lugar, debemos demostrar que $\beta^{*} = \{ f_{1},f_{2},f_{3}\}$ es una base para el espacio dual $V^{*} = \mathcal{L}(V,F) = \mathcal{L}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}):$

En el entorno de dimensión finita, existe una correspondencia uno a uno entre las transformaciones lineales y las representaciones matriciales. Por lo tanto, podemos calcular la dimensión del espacio dual, como sigue: $$dim(V^{*}) = dim(\mathcal{L}(V,F)) = dim(V) \cdot dim(F) = dim(V) = dim(\mathbb{R}^{3}).$$

Así, $dim(V^{*}) = 3.$

Ahora, si encontramos un subconjunto linealmente independiente de $V^{*}$ que contiene exactamente $3$ vectores, entonces es una base para $V^{*}.$ En particular, considere $\beta^{*} = \{ f_{1},f_{2},f_{3}\},$ y supongamos que $\sum_{i=1}^{3} a_{i} f_{i} = 0,$ donde $a_{i} \in \mathbb{R}$ para $i=1,2,3.$ Entonces, escoge un vector arbitrario $(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3},$ y demostrar que $$0 = 0(x,y,z) = \sum_{i=1}^{3} a_{i} f_{i}(x,y,z)$$ implica $a_{i}=0$ para $i=1,2,3$ (nótese los múltiples usos del símbolo $0$ ). De ello se deduce que $\beta^{*}$ es un subconjunto linealmente independiente de $V^{*}$ con exactamente $3$ vectores.

En segundo lugar, seguimos la solución de BaronVT para encontrar una base $\beta$ para $\mathbb{R}^{3}$ tal que $\beta^{*}$ es la base dual de $\beta:$

En concreto, codificamos los tres sistemas de ecuaciones separados en la siguiente matriz aumentada $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & \phantom{-} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & \phantom{-} 1 & \phantom{-} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \phantom{-} 1 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right),$$ entonces realizamos la eliminación de Gauss-Jordan para encontrar $\beta.$