¿Cuál es el significado ?

Question

De Cauchy de la Integral de la fórmula

Deje $G$ ser abierta en $\mathbb{C}$ $f$ ser holomorphic en $G$.

Deje $\gamma$ ser un cerrado subsanables en la curva en $G$ tal que $Wnd(\gamma,z)=0$ todos los $z\in \mathbb{C}\setminus G$.

A continuación, $Wnd(\gamma,z) f(z)= \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{w-z} dw$

Ahora estoy revisando el análisis complejo que he aprendido.

No sólo de Cauchy de la integral de la fórmula, pero todos los teoremas relativos integral de línea viene con el coeficiente de $\frac{1}{2\pi i}$ en básica de análisis complejo.

Entiendo totalmente la prueba de Cauchy para la integración de la fórmula y otros teoremas (como el Recuento de ceros, teorema de los Residuos, el Argumento principio y etc) y sé lo $2\pi i$ es derivado.

Sin embargo, no puedo encontrar el porqué $2\pi i$ debe estar allí geométricamente o por cualquier medio. Todo lo que puedo decir por ahora es que el $2\pi i$ por cierto salió en las pruebas. Estoy seguro que tiene algún significado.. ¿Qué es?

Gracias de antemano.

Answer 1

Definición. Deje $\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb{C}$ ser un bucle y deje $a\in\mathbb{C}\setminus\gamma([0,1])$. Vamos a definir: $$\textrm{Wnd}(\gamma,a):=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma}\frac{\mathrm{d}z}{z-a}.$$ $\textrm{Wnd}(\gamma,a)$ es la liquidación número de $\gamma$$a$.

Uno tiene la:

La proposición. Deje $\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb{C}$ ser un bucle y dejar $a\in\mathbb{C}\setminus\gamma([0,1])$, $\textrm{Wnd}(\gamma,a)$ es un número entero.

Sin el factor de $\displaystyle\frac{1}{2i\pi}$, $\textrm{Wnd}(\gamma,a)$ no será un número entero y no se puede hacer lo siguiente:

Interpretación geométrica. $\textrm{Wnd}(\gamma,a)$ es el algebraicas número de vueltas de $\gamma$ alrededor del punto de $a$, que es el número de trigonométricas vueltas de $\gamma$ $a$ menos el número de las agujas del reloj vueltas de $\gamma$$a$.

Ejemplo. Para tener una visión hagamos el siguiente cálculo. Deje $n\in\mathbb{Z}$ y vamos a definir el bucle $\gamma_n:[0,1]\ni t\mapsto e^{2in\pi t}\in\mathbb{S}^1$, se tiene: $$\textrm{Wnd}(\gamma_n,0)=\frac{1}{2i\pi}\int_{0}^1\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)}\mathrm{d}t=\frac{1}{2i\pi}\int_0^1\frac{2in\pi e^{2in\pi t}}{e^{2in\pi t}}\mathrm{d}t=n.$$ $\gamma_n$ $|n|$ da vueltas alrededor del origen, los turnos son trigonométricas vueltas si $n\geqslant0$ y el de las agujas del reloj vueltas si $n<0$.

Answer 2

$$i 2 \pi = \oint_{\gamma} \frac{dz}{z-w}$$

Cuando $w$ $\gamma$ y $\gamma$ vientos de sólo alrededor de $w$ una vez hacia la izquierda (orientación positiva).