EL TÍTULO DE

Question

Esta podría ser una pregunta muy simple, pero me parece que no puede encontrar una definición precisa del grado de una curva algebraica, si tal puede incluso ser definido. En el avión, el grado de una curva algebraica es claro; es simplemente el grado de la definición de polinomio (una curva en el plano está definido por la ecuación de $f(x,y) = 0$, para algún polinomio $f$). En las dimensiones superiores, decir $n$, una curva algebraica es definido por $n-1$ ecuaciones polinómicas $f_1 =0, f_2 =0, \cdots, f_{n-1} = 0$. Sin embargo, el grado de la curva ya no es clara.

Puede el grado de una curva algebraica ser definido en las dimensiones superiores? Si es así, ¿cómo se define?

Gracias

Answer 1

Como Zhen Lin dice, una forma geométrica de definir el grado es tomar el número de puntos de intersección de un general hyperplane con la curva. Aproximadamente, general codifica la condición de que usted no desea que el hyperplane para contener la curva, y que también no quieren que sea tangente a la curva. Esta definición es, sin duda aceptado, a pesar de que puede ser difícil trabajar con ella, ya que a menudo quiere lidiar con el "degenerado" de los casos, y esta definición se convierte en difícil de manejar. La referencia a Hartshorne es sin duda un buen lugar para empezar.

Yo también quería hacer un par de comentarios sobre algunas de las declaraciones hechas. En primer lugar, no es cierto en general que de una curva en $\mathbb{P}^n$ está definido por $n-1$ ecuaciones: ciertamente, usted necesita por lo menos $n-1$ de las ecuaciones de definición, pero normalmente se necesita más que eso. Un ejemplo sencillo es el trenzado cúbicos en $\mathbb{P}^3$. Segundo, refiriéndose al comentario de J. M., si la curva resulta ser definido por $n-1$ ecuaciones en $\mathbb{P}^n$, entonces su grado sería el producto de los grados de las ecuaciones, y no el máximo.