Dejemos que $G$ sea un grupo y $a,b,c \in G$ . Dado que $abc$ y $cba$ son conjugados, demuestre que $G$ es abeliana.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $a,b,c \in G$ . Dado que $abc$ y $cba$ son conjugados, demuestre que $G$ es abeliana.

En otras palabras, si para cualquier $a,b,c \in G$ hay un $g \in G$ para que $a b c = g c b a g^{-1}$ , demuestre que $G$ es abeliana.

Answer 1

Toma $c=(ba)^{-1}$ . Tenemos:

$ab(ba)^{-1}=g(ba)^{-1}bag^{-1}=ga^{-1}b^{-1}bag^{-1}=ga^{-1}1ag^{-1}=ga^{-1}ag^{-1}=gg^{-1}=1$ para $g \in G$ Así que..:

$ab=ba$ para todos $a,b \in G$