¿Cómo puedo encontrar el volumen se limita a los siguientes superficie? $$|x|^{\frac{1}{3}}+|y|^{\frac{1}{3}}+|z|^{\frac{1}{3}}=|a|^{\frac{1}{3}}.$$ He utilizado esta Integral iterada $$8\int_{0}^{|a|}\int_{0}^{(|a|^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}})^3}\int_{0}^{(|a|^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})^3}dz\,dy\,dx$$ pero su cálculo es un poco difícil. ¿Hay una manera fácil para que?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Que es una exageración, pero vamos a calcular el $n$volumen $V(r)$ de $$\sum_{i=1}^n |x_i|^\alpha=r^\alpha.$$ Certrainly $V(r)=r^n V(1)$. Consideremos la integral $$I=\int\exp(-\sum_{i=1}^n |x_i|^\alpha)dx_1\dots dx_n.$$ Por un lado $$I=\int_0^\infty\exp(-r^\alpha)d(V(r))=V(1)\int_0^\infty e^{-s}\frac{n}{\alpha}s^{n/\alpha-1}ds=V(1)\Gamma(n/\alpha+1)$$ (aquí se $s=r^\alpha$). En el otro lado $$I=(2\int_{0}^\infty e^{-|x|^\alpha}dx)^n=(2\Gamma(1/\alpha+1))^n$$ así $$V(r)=r^n(2\Gamma(1/\alpha+1))^n/\Gamma(n/\alpha+1).$$ En su caso ($n=3,\alpha=1/3$) $V(r)=r^3 (2\times 3!)^3/9!=r^3/210$ (tal vez es cierto).
Joe Gauterin
Puntos
9526
Que nos llame a la integral como $\mathscr{I}$. Por un cambio de las variables de $(x,y,z) = (au^3,av^3,aw^2)$, se puede convertir $\mathscr{I}$ a uno sobre el simplex $\displaystyle \Delta = \{\;(u,v,w) : 0 \le u, v, w; u + v + w \le 1\;\}$:
$$\mathscr{I} = 8 \int_{\Delta} d (u^3)d(v^3)d(w^3) = (6a)^3 \int_{\Delta} (uvw)^2 du dv dw$$
Una manera de lidiar con las integrales sobre $\Delta$ es el uso de coordenadas $(\lambda,\mu,\nu)$ de la forma:
$$\begin{cases} \lambda & = u + v + w\\ \lambda \mu & = v + w\\ \lambda \mu \nu & = w \end{casos} \quad\ffi\quad \begin{cases} u &= \lambda (1-\mu)\\ v &= \lambda \mu (1-\nu)\\ w &= \lambda \mu \nu \end{casos} $$ Esto convertirá a la integral sobre la $\Delta$ a uno sobre el cubo unitario $[0,1]^3$. Tenemos $$\begin{align} du \wedge dv \wedge dw &= d(u + v + w) \wedge d(v+w) \wedge dw = d\lambda \wedge \lambda d\mu \wedge \lambda\mu d\nu = \lambda^2\mu d\lambda \wedge d\mu \wedge d\nu\\ u v w &= \lambda^3 \mu^2 (1-\mu) \nu (1-\nu) \end{align}$$ Esto nos da
$$\begin{align} \mathscr{I} &= (6a)^3 \left(\int_0^1 \lambda^8 d\lambda \right)\left( \int_0^1 \mu^5 (1-\mu)^2 d\mu \right)\left( \int_0^1 \nu^2(1-\nu)^2 d\nu \right)\\ &= (6a)^3 \left(\frac19\right)\left(\frac16 - \frac27 + \frac18 \right)\left(\frac13 - \frac24 + \frac15\right)\\ &= (6a)^3 \left(\frac19\right)\left(\frac{1}{168}\right)\left(\frac{1}{30}\right)\\ &= \frac{a^3}{210} \end{align}$$ Alternativamente, uno puede cambiar las coordenadas de a $(x,y,z) = (au^6,av^6,aw^6)$ y gire a la integral sobre la $\Delta$ a uno sobre la octava esfera $\Theta = \{\;(u,v,w) : 0 \le u, v, w; u^2 + v^2 + w^2 \le 1\;\}$. Tenemos $$\mathscr{I} = 8 \int_{\Theta} d(a u^6) d(a v^6) d(a w^6) = (12a)^3 \int_{\Theta} (uvw)^5 du dv dw$$ Introducir coordenadas polares esféricas,
$$\begin{cases} u &= r\sin\theta\cos\phi\\ v &= r\sin\theta\sin\phi\\ w &= r\cos\theta \end{casos} \quad\implica\quad \begin{cases} du dv dw &= r^2\sin\theta dr d\theta d\phi\\ uvw &= r^3 \sin^2\theta\cos\theta \sin\phi\cos\phi \end{casos}$$
Nuestros integral se convierte en $$\begin{align} \mathscr{I} & = (12a)^3 \left(\int_0^1 r^{17} dr \right) \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{11}\theta\cos^5\theta d\theta\right) \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^5\phi\cos^5\phi d\phi\right)\\ & = (12a)^3 \left(\frac{1}{18}\right) \left(\frac{1}{336}\right) \left(\frac{1}{60}\right)\\ &= \frac{a^3}{210} \end{align} $$
