¿Cuál es el valor de la anidados radicales $\sqrt[3]{1+2\sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{1+4\sqrt[3]{1+\dots}}}}$?

Question

El cerrado de las formas de las tres primeras son bien conocidos,

$$x_1=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}}\tag1$$ $$x_2=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\dots}}}}\tag2$$ $$x_3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}\tag3$$ $$x_4=\sqrt[3]{1+2\sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{1+4\sqrt[3]{1+\dots}}}}=\;???\tag4$$

con $x_1$ la proporción áurea, $x_2$ el plástico constante, y $x_3=3\,$ (por Ramanujan).

Preguntas:

1. Tratando de generalizar $x_3$, ¿cuál es el valor de $x_4$ $100$ o más cifras decimales? (La Inversa de la Calculadora Simbólica continuación, puede ser útil para averiguar su forma cerrada, si los hubiere.)
2. ¿Cuál es el Mathematica comando para calcular $x_4$?

P. S. Este otro post es relacionado pero sólo pregunta por su forma cerrada, lo que resultó en la especulación en los comentarios. (Un método/código para calcular $x_4$, y un verificables valor numérico es más deseable.)

Answer 1

Este es más bien un comentario de una respuesta.

Yo estaba interesado, lo que la inversa de la expresión.

Así que en lugar de la iteración de $$z_{j+1} = k_j \sqrt[3]{1+z_j} ,\qquad k_{j+1}=k_j-1 \tag1$$ $\qquad \qquad $ with some $z_0,k_0$ towards the intended final value of about $x_4 \aprox 1.702....$

... I wanted to begin at $y_1 = x_4, \qquad i_1=1$ and iterate $$y_{j+1} = (y_j/i_j)^3-1, \qquad i_{j+1} = i_j+1 \tag2 $$

I assumed that ( if $x_4$ sería infinitamente más exactos ) esto podría dar algunos monótona (y sin problemas, no excesivamente divergentes) aumento de la secuencia.

---

Por supuesto, para ser capaz de evaluar el infinito radical que se necesita para empezar con algún valor $k_0$ , decir $k_0=100$, y también en algunos de valor de $z_0$ tener la inicialización de paso, y, a continuación, hacer la iteración $(1)$ hasta $k_j=1$.

Con algunos valores de ejemplo para $k_0$ $z_0$ se produce, que esta converge para cualquier número suficientemente grande $k_0$ e donde: $z_0$ puede ser tomado de una amplia gama de números. (Seguramente que el general convergente tendencia es evidente, porque teniendo en repetidas ocasiones la tercera raíz domina cualquier valor inicial $k_0$ en el largo plazo)
Algunos pequeños heurística muestran, que cuando empezamos con algunos $k_0>10$ $z_0=0$ tendremos entonces un convergentes órbita a una aproximación a la espera valor exacto $x_4 \approx 1.70221$ que ya se señaló en los comentarios y respuestas aquí.

A continuación se muestran los protocolos para la toma de $z_0 = 0$ $k_0=10,k_0=20,k_0=40,k_0=80$

Aquí le doy la vuelta a los protocolos verticalmente, de modo que siempre el final de la aproximación a $x_4$ está en la primera fila y el valor inicial $z_0$ en la última documenta de fila (de cada columna).

   k=10            k=20             k=40           k=80
  1.70207498412  1.70221913004  1.70221913270  1.70221913270
  3.93101207963  3.93226498355  3.93226500660  3.93226500660
  6.59317043548  6.60043310370  6.60043323734  6.60043323734
  9.61497910075  9.65009635946  9.65009700639  9.65009700639
  12.8888107358  13.0415475777  13.0415504016  13.0415504016
  16.1288626198  16.7450561236  16.7450676509  16.7450676509
  18.4248412010  20.7373236300  20.7373685221  20.7373685221
  17.2354775203  24.9994401380  24.9996089887  24.9996089887
  9.00000000000  29.5155278949  29.5161462214  29.5161462214
              0  34.2715168644  34.2737336401  34.2737336401
              .  39.2531600858  39.2609716456  39.2609716456
              .  44.4407845454  44.4679187214  44.4679187214
              .  49.7927133645  49.8858075871  49.8858075871
              .  55.1910725944  55.5068326811  55.5068326812
              .  60.2664047781  61.3239875625  61.3239875628
              .  63.8562860392  67.3309381635  67.3309381646
              .  62.5698255351  73.5219223694  73.5219223731
              .  48.8595170987  79.8916693144  79.8916693266
              .  19.0000000000  86.4353336924  86.4353337323
              .              0  93.1484416750  93.1484418054
              .              .  100.026845895  100.026846319
              .              .  107.066687514  107.066688890
              .              .  114.264363628  114.264368071
              .              .  121.616497850  121.616512154
              .              .  129.119909913  129.119955825
        ...          ...          ...              ...
              .              .  193.793352728  194.268736771
              .              .  201.523213241  203.017268622
              .              .  207.227692605  211.893396334
              .              .  206.557887071  220.895315241
              .              .  187.893861581  230.021295003
              .              .  129.958171947  239.269674647
              .              .  39.0000000000  248.638858063
              .              .              0  258.127309892
              .              .              .  267.733551779
              .              .              .  277.456158932
        ...          ...          ...              ...
              .              .              .  617.124466059
              .              .              .  628.681311770
              .              .              .  637.738467022
              .              .              .  639.077677063
              .              .              .  617.695779782
              .              .              .  535.887293501
              .              .              .  336.091811645
              .              .              .  79.0000000000
              .              .              .              0

Nos encontramos, que la hacia atrás secuencias muestran algunas suave aumento hacia el índice de $j=k_0$ y sólo en el último par de entradas de volver a caer downto $z_0=0$.
Esto sugiere que existe una asintótica infinita secuencia con algo de suave aumento cuando empezamos en el exacto valor de $x_4$.

En primer lugar, comenzando a las $y_1=x_4, i_1=1$ (donde $x_4$ fue tomado de la aproximación a los valores iniciales $k_0=20,z_0=0$ ) de la secuencia $$ y_{j+1} = (y_j / i_j)^3 -1 \\ i_{j+1} = i_j+1 $$ la recorre en reproducir a la perfección el anterior volteado protocolo; pero, por supuesto, podemos ahora proceder; lo que significa también asumir diferentes $k_0$$z_0$. Esos son los números negativos escrito debajo de las filas con los valores de $19$$0$.

i_j    y_j
1      1.70221913004
2      3.93226498355
3      6.60043310370
4      9.65009635946
...    ...
15     60.2664047781
16     63.8562860392
17     62.5698255351
18     48.8595170987
19     19.0000000000
20               0
21    -1.00000000000
22    -1.00010797970
23    -1.00009394478
24    -1.00008221270
25    -1.00007235581
...   ...

Esta secuencia de la $y_j$ aumenta muy bien con una curva suave hacia arriba, pero luego se convierte a algunos pasos antes de $j$ llega a $k_0$

Por supuesto, esto da la idea, de que hay algunos asintótica infinita órbita que es en los primeros recorre muy similar a lo finito órbitas cada vez mayor a partir de los valores de $k_0$, pero que es siempre suavemente creciente, y donde la recorre de no crecer demasiado rápido.
Una muy buena linealización de la asintótica órbita parece ser logrado, cuando nos fijamos en la transformada $w_j = (y_j+1)^{2/3}$ Ver los primeros pasos de la asintótica de la órbita (formulario reproducido $x_4$ tomado de $k_0=800,z_0=0$) y su transformada:

   j=i_j    y_j           w_j = (y_j+1)^(2/3)  
   1      1.70221913270  1.94005351476
   2      3.93226500660  2.89754997571
   3      6.60043323734  3.86567702054
   4      9.65009700639  4.84063543563
   5      13.0415504016  5.82027326454
   6      16.7450676509  6.80328147513
   7      20.7373685221  7.78881362869
   8      24.9996089887  8.77629496371
   9      29.5161462214  9.76531952484
  10      34.2737336401  10.7555912069
  11      39.2609716456  11.7468881763
  12      44.4679187214  12.7390404509
  13      49.8858075871  13.7319152459
  14      55.5068326812  14.7254070924
  15      61.3239875628  15.7194309913
  16      67.3309381646  16.7139175583
  17      73.5219223731  17.7088095083
  18      79.8916693266  18.7040590638
  19      86.4353337323  19.6996260117
  20      93.1484418054  20.6954762255
  21      100.026846319  21.6915805270
  22      107.066688890  22.6879137972
  23      114.264368071  23.6844542766
  24      121.616512154  24.6811830070
  25      129.119955825  25.6780833827
  26      136.771720005  26.6751407877
  27      144.568994332  27.6723422976
  28      152.509121859  28.6696764363
  29      160.589585632  29.6671329723
  30      168.807996837  30.6647027507
  ...   ...                 ...

Miró a esto con mucho más altos índices parece, que el $w_j$ son solo valores entre el$j$$j+1$, donde la parte fraccionaria disminuye lentamente, y una evidente hypothese es, que en realidad

$\qquad $ conjetura: $\qquad i_j = \lfloor w_j \rfloor = \lfloor (y_j+1)^{1-1/3} \rfloor $ todos los $j$

(Curiosamente, el analoguous parece cierto si utilizamos en lugar del cubo de la raíz- $k_j\sqrt[3]{1+z_j}$ en el anidada original radical de la $p$-root $k_j\sqrt[p]{1+z_j}$ con la fórmula $\qquad i_j = \lfloor w_j \rfloor = \lfloor (y_j+1)^{1-1/p} \rfloor $ todos los $j$ )

---

Aquí hay dos fotos que ilustran la aproximación a la asintótica infinita secuencia de $y_j$.
Las secuencias originales tomadas de $k=10,k=20,k=40,k=80,z_0=0$

y la linealización mediante el $(2/3)$base $w_j=\sqrt[2/3]{y_j+1}$

---

La linealidad en $w_j$, y en la última foto me sorprende mucho . Extrapolado a los altos valores de partida de $z_j$ (idealmente infinita) y el coeficiente de $k_j$ $k_j \cdot \sqrt[3]{1+z_j}$ parece, que la iteración suaviza la relación entre el $k_j$ $z_j$ tal que $k_j = \lfloor (z_j+1)^{2/3} \rfloor$ y si esta relación ha sido abordado por el iteraciones para la evaluación de la itera - root-expresión nos encontramos con que th $k_j$ de disminución en los pasos de $-1$. Así que podríamos decir, que el uso de cualquier $z_0$ la secuencia de las evaluaciones es equivalente a la iterada radical $$ \sqrt[3] {1+ 2\sqrt[3] {1+ 3\sqrt[3]{1+... \lfloor (1+z_j)^{2/3} \rfloor \sqrt[3] {1+ z_j} } }} \tag3 $$

---

Sidenote: it seems, the alternating asymptotic series of the $y_j$ can be Euler-summed to the value $A_4 \aprox 0.35257703658424960934 $

Answer 2

Se pueden calcular usando recursión hacia atrás. Aquí está un ejemplo de código de Mathematica:

nmax = 250; 
x4 = 1; 
Do[ x4 = (1 + i x4)^(1/3) , {i, nmax, 2, -1}]; 
N[x4, 100] 

Mathematica calcula como una expresión que se evalúa en el final (es decir, no se evalúa a un número de punto flotante en el bucle). Para garantizar que esto coincide con el verdadero resultado de a $100$ los dígitos uno debe tratar de aumentar y aumentar nmax hasta que la convergencia es visto. Por ejemplo nmax = 500 y nmax = 250 da el mismo $100$ dígitos.

$$\matriz{ 1.7022191326954580969240585907840134288409657961453\\ 43207531048888139480023128215942807076912940538302}$$

We can also use this to generate tex-code of the expression. For example taking nmax = 9 and adding x4 // TeXForm gives us this

$$\sqrt[3]{1+2 \sqrt[3]{1+3 \sqrt[3]{1+4 \sqrt[3]{1+5 \sqrt[3]{1+6 \sqrt[3]{1+7 \sqrt[3]{1+8 \sqrt[3]{10}}}}}}}}$$

---

Here is some code to evaluate the minimum nmax such that we have convergence to ndigits decimal digits. The idea is to increase nmax by a factor of $2$ until we find convergence and then use bisection on the interval [nmax/2, ..., nmax] to find the minimal value. I'm sure this can be done much better/simpler in Mathematica, but anyway here it is:

(* Evaluates the recursion to level nmax to ndigit precision *)
ExpressionToNdigits[nmax_, ndigits_] := Module[{x4},
   x4 = 1;
   Do[x4 = (1 + i x4)^(1/3), {i, nmax, 2, -1}];
   N[x4, ndigits]
];

(* Finds a nmax such that the recursion have converged to ndigits but it has not converged at nmax/2 *)
FindNmax[ndigits_] := Module[{expression, expressionOld, nmax},
   nmax = 1;
   {expressionOld, expression} = {0, ExpressionToNdigits[nmax, ndigits]};
   While[expression != expressionOld,
    nmax *= 2;
    {expressionOld, expression} = {expression, ExpressionToNdigits[nmax, ndigits]};
   ];
   nmax/2
];

(* Find minimum nmax using bisection *)
FindNmaxMin[ndigits_] := Module[{nmax, nmaxMin, nmaxMax, trueexpression, expression},
   nmaxMax = FindNmax[ndigits];
   nmaxMin = nmaxMax/2;
   trueexpression = ExpressionToNdigits[nmaxMax, ndigits];
   While[nmaxMax - nmaxMin > 1,
    nmax = Floor[(nmaxMin + nmaxMax)/2];
    expression = ExpressionToNdigits[nmax, ndigits];
    If[trueexpression - expression == 0, nmaxMax = nmax, nmaxMin = nmax];
   ];
   nmaxMax
];

FindNmaxMin[100] (* 210 *)
FindNmaxMin[50]  (* 105 *)
FindNmaxMin[20]  (*  42 *)

It turns out the nmax needed to get ndigits precision is almost exactly $n_{\rm max} = 2.1 n_{\rm dígitos}$.