Encontrar el número de los distintos extremos del polinomio.

Question

Quiero encontrar el número de posibles $c \in \mathbb R$ tales que el polinomio $$ f(x) = x(x+1)(x+2)\dots(x+2011) - c $$ tiene una doble raíz ( raíz de multiplicidad 2 ).

Sé que esto corresponde a encontrar el número de valores distintos de los extremos de la función $$ g(x)= x(x+1)(x+2)\dots(x+2011) $$ after which I must set $c$ a sea igual al valor de los extremos.

Pensé en el uso de la simetría sobre el punto de $x=-1005.5$ a mostrar que (aparte de la central extremo), valores distintos de extrema ocurren en pares.

Lo que queda por demostrar es que, aparte de pares simétricos, todos los puntos críticos tienen distintos valores de $f(x)$

He mirado en los polinomios $x(x+1)(x+2)(x+3)$ $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ y ellos parecen estar de acuerdo con mi hipótesis, pero soy incapaz de demostrar que para el caso general $$ P(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)\dots (x+2k+1) $$

Answer 1

Las raíces de $g$$0,-1,-2,\ldots,-2011$. Debe haber un punto crítico entre cada par adyacente de las raíces, de modo que cada uno de los intervalos $(-1,0)$, $(-2,-1)$, $\ldots$, $(-2011,-2010)$ contiene un punto crítico. Esto explica todos los puntos críticos.

Observar que $g(x)$ satisface la ecuación funcional $$ g(x-1)=\frac{x-1}{x+2011}g(x). $$ La función racional factor en el lado derecho tiene valor absoluto menor que $1$ si $x>-1005$, por lo que para estas $x$ tenemos $|g(x-1)|<|g(x)|$. Esto significa que los valores críticos en los intervalos $(-1,0)$, $\ldots$, $(-1006,-1005)$ son estrictamente decreciente en valor absoluto. Por lo que hemos encontrado $1006$ distintos valores críticos.

Como usted ha observado, $g$ satisface la propiedad de simetría $g(x) = g(-2011-x)$. Esto significa que el los valores críticos vienen en pares, por lo que el $1006$ valores críticos de arriba son todos los valores distintos.