La recurrencia $a_k(n) = \sum_{0\leqslant j<n} a_{k-1}(n+j)$

Question

Estoy tratando de encontrar una forma cerrada de la expresión a la siguiente relación de recurrencia:

\begin{align} &a_k(0) = 0, \quad \forall k\geqslant 1; \\ &a_k(1) = 1, \quad \forall k\geqslant 1; \\ &a_0(n) = 1, \quad \forall n\geqslant 1; \\ &a_k(n) = \sum_{0\leqslant j<n} a_{k-1}(n+j). \end{align}

El caso de $k=2$ son particularmente interesantes, ya que da a los números pentagonales,

$$ a_2(n) = \sum_{0\leqslant j<n} a_1(n+j) = \sum_{0\leqslant j<n} (n+j) = \binom{2n}{2} - \binom{n}{2} = \frac{n(3n-1)}{2}.$$

Pero para mayor $k$ parece comportarse de manera muy "caótica" (en un no exactamente estricto sentido de la palabra).

Si en lugar de "$n+j$" que uno elige "$n-j$" en la definición, la forma cerrada de la recurrencia se vuelve mucho más fácil, es decir,$\binom{n+k-1}{k}$, que es bien conocido contar, e incluso puede extenderse a la compleja función de dos variables $\frac{\Gamma(z+w)}{\Gamma(z)\Gamma(w+1)}$. Me pregunto si el de arriba de la recurrencia de la relación también tienen una combinatoria de interés, o incluso una forma cerrada que se puede extiende naturalmente a variables complejas.

Answer 1

No es una respuesta completa, pero todavía alimento para el pensamiento : Para todos los $k$, no es una forma sistemática para calcular de una forma cerrada fórmula para $a_k(n)$ válido para todos los $n$. Los pasos son los siguientes :

Se puede demostrar fácilmente que para todos los $k$, $a_k(n)$ es una función polinómica de la variable $n$.

Prueba :

Es cierto para $k=0$ desde $a_O(n) = 1$. Si $a_{k-1}(n)$ es polinomial, entonces $a_{k-1}(n+j)$ es también un polinomio en $n$ todos los $j$ (cf Taylor teorema de polinomios), y $a_k(n) = \sum_{j=0}^{n-1} a_{k-1}(n+j)$ es una suma de polinomios, por lo tanto, un polinomio de sí mismo.

Por lo tanto, para todos los $k$ y $n$, $a_{k-1}(n+j)$ es una función polinómica de la variable $j$. Reescribir $a_k(n) = \sum_{j=0}^{n-1} a_{k-1}(n+j)$ dejando sólo el monomio $j$ términos en la suma. A continuación, utilizando Faulhaber de la fórmula (véase Faulhaber la fórmula en la Wikipedia), se puede dar una forma cerrada de expresión para $a_k(n)$ sin $j$. Esta fórmula es muy dependiente en el concepto de los números de Bernoulli (ver Bernoulli número en la Wikipedia), que se presentan en varios otros campos matemáticos (en la que están involucrados en la forma cerrada fomula para el entero de los valores de la Riemann zeta función por ejemplo !!!)

Ejemplo : $k = 1$ $$a_1(n) = \sum_{j=0}^{n-1} a_0(n+j) = \sum_{j=0}^{n-1} 1 = n$$ $k = 2$ : $$a_2(n) = \sum_{j=0}^{n-1} a_1(n+j) = \sum_{j=0}^{n-1} n+j = n \sum_{j=0}^{n-1} 1 + \sum_{j=0}^{n-1} j = n^2 + \frac{n(n-1)}{2}$$

Y así sucesivamente ...