¿Por qué no existe un tensor físico de energía-momento para el campo gravitatorio?

Question

Empezando por el lagrangiano de Einstein-Hilbert

$$ L_{EH} = -\frac{1}{2}(R + 2\Lambda)$$

se puede calcular formalmente un tensor de energía-momento gravitacional

$$ T_{EH}^{\mu\nu} = -2 \frac{\delta L_{EH}}{\delta g_{\mu\nu}}$$

lo que lleva a

$$ T_{EH}^{\mu\nu} = -G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = -(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R) + \Lambda g_{\mu\nu}. $$

Pero entonces, en el párrafo que sigue a la Ec. (228) en la página 62 de este se dice que esta cantidad no es una cantidad física y que es bien sabido que para el campo gravitatorio no existe ningún tensor de energía-momento (físico).

A mí, personalmente, este hecho me resulta más sorprendente que conocido. Entonces, ¿alguien puede explicarme (matemáticamente y/o "intuitivamente") por qué no existe un tensor de energía-momento para el campo gravitatorio?

Answer 1

El tensor de energía-momento se define localmente y es un tensor . En el electromagnetismo, o en la gravedad newtoniana, la manera de formar una densidad de energía local es básicamente elevando el campo al cuadrado.

El problema de aplicar esto a la RG es que el campo gravitatorio $\mathbf{g}$ es cero, localmente, en un marco de referencia inercial (es decir, de caída libre), por lo que cualquier densidad de energía que formemos elevando al cuadrado va a ser algo que puede hacerse cero en cualquier punto dado, simplemente por una elección de coordenadas. Pero un tensor que es cero para una elección de coordenadas es cero para cualquier elección de coordenadas, así que la idea no funciona para la RG.

El otro tipo de cosa que se podría intentar sería tomar derivadas del campo y utilizarlas como ingredientes de dicho tensor definido localmente. Sin embargo, esto no ayuda. Hay una discusión sobre esto en Wald, sección 11.2. El problema básico es que si quieres que el resultado sea un tensor, las derivadas tienen que ser derivadas covariantes que operen sobre un tensor. Pero el único tensor del que disponemos es la métrica, y la característica que define a la derivada covariante es que da cero cuando se diferencia la métrica. (Sin embargo, hay una laguna en el argumento de Wald que me molesta. Cuando se forma una cantidad tensorial por diferenciación, es suficiente pero no necesario que la derivada sea una derivada covariante. Cuando formamos un tensor de curvatura a partir de la métrica, lo hacemos tomando derivadas no covariantes sobre la métrica para formar los símbolos de Christoffel, y luego haciendo otras operaciones que implican derivadas no covariantes para obtener el tensor de curvatura de Riemann, que es un tensor válido).

Nada de esto impide la definición de no local medidas de la energía transportada por los campos gravitatorios en una región determinada. Por eso, por ejemplo, podemos hablar de la energía transportada por una onda gravitacional, pero tenemos que hablar de una región que sea grande comparada con una longitud de onda. Sin embargo, eso no nos permitirá definir algo que pueda entrar en las ecuaciones de campo de Einstein, que son locales porque son una ecuación diferencial.

Answer 2

El tensor de energía-momento canónico es exactamente cero, debido a la ecuación de Einstein. Lo mismo ocurre con cualquier teoría invariante por difeomorfismo.

Al decir ''no existe'' sólo se quiere decir que no contiene ninguna información útil.

Answer 3

Es cierto que no existe un tensor de energía-momento para el campo gravitatorio, sin embargo, es fácil entender por qué no y luego derivar una formulación perfectamente correcta para la conservación de la energía y los momentos del campo gravitatorio.

El grupo de invariancia de la relatividad especial es el grupo de Poincare. La energía y el momento se combinan en la relatividad especial para formar un 4-vector que pertenece a una representación del grupo de Poincare. La corriente de este cuatro vector es el tensor de tensión energía-momento cuya divergencia es cero.

Cuando se pasa de la relatividad especial a la general se suele suponer que cualquier cantidad tensorial puede ser sustituida por otra similar con derivadas ordinarias sustituidas por derivadas covariantes, lo cual no siempre es así. En relatividad general la simetría es el grupo de difeomorfismo, no el grupo de Poincare o el grupo de Lorentz. Los 4 vectores en la RG sólo existen localmente, pero la energía y el momento no son cantidades locales, por lo que no pueden formar un 4 vector. En su lugar deben formar un objeto de una representación del grupo de difeomorfismo.

Si su espaciotiempo es topológicamente equivalente (difeomorfo) a $R^4$ entonces se puede elegir cualquier sistema global de 4 coordenadas y transformar esas coordenadas utilizando las transformadas de Poincare. Se trata de difeomorfismos, lo que significa que se puede incrustar el grupo de Poincare en el grupo de difeomorfismos eligiendo dichas coordenadas. Por esta razón es posible derivar un pseudo-tensor de energía-momento para el campo gravitatorio. Depende de las coordenadas y no es un tensor, pero funciona.

Hay un enfoque mejor conceptualmente que es covariante y funciona para cualquier topología. Se obtiene aplicando el primer teorema de Noether directamente a la acción de Einstein-Hilbert utilizando los generadores de simetría del grupo de difeomorfismo que son campos vectoriales contravariantes $k^\mu$ . El resultado es una corriente con una dependencia lineal del campo $k^\mu$ que se simplifica al superpotencial de Komar utilizando las ecuaciones de campo

$J^{\mu} = (k^{\mu;\nu} - k^{\nu;\mu})_{;\nu}$

Utilizando esta formulación, la energía y los momentos pertenecen al dual de la representación adjunta del grupo de difeomorfismo.

Edición: Voy a añadir un punto más importante que a menudo se malinterpreta.

La parte de materia y radiación del tensor de energía-momento-estrés puede derivarse utilizando la fórmula dada en la pregunta aplicada a la parte de materia+radiación del Lagrangiano

$T_{MR}^{\mu\nu} = -2 \frac{\delta L_{MR}}{\delta g_{\mu\nu}}$

Si se utiliza esta expresión en la acción completa, como se sugiere en la referencia, se obtienen las ecuaciones de movimiento gravitatorio, que son dinámicamente nulas. Es crucial entender que no es así como se obtiene la corriente de Noether, que viene dada correctamente por esta expresión (ver Wikipedia para más detalles )

$T_\mu{}^\nu = \left( \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol\phi_{,\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\phi_{,\mu} - L\,\delta_\mu^\nu$

Algunas personas confunden estas dos cosas y piensan que dan la misma respuesta para el lagrangiano completo, por lo que la corriente de Noether debe ser cero bajo las ecuaciones de campo. Esto no es así. Cuando la corriente de Noether se deduce correctamente, da el superpotencial de Komar utilizando las ecuaciones de campo y esto no es cero . Si se adopta un enfoque dependiente de las coordenadas, se puede utilizar alternativamente el teorema de Noether para obtener expresiones de pseudotensores que, de nuevo, no son iguales a cero.

Answer 4

¿Qué tal esto?

Las expresiones matemáticas del momento y la energía (cinética) suelen ser lineales y cuadráticas en las primeras derivadas de las variables dinámicas. Por ejemplo, para una partícula clásica la variable dinámica es sólo la variable de trayectoria ${\bf{x}}(t)$ mientras que el impulso es $m{\bf{\dot{x}}}$ y la energía cinética es $\frac{1}{2}m{\bf{\dot{x}}}$$ ^{2} $. But in general relativity the first covariant derivative of the gravitational field variable, i.e. of the space-time metric $ g_{mu\nu}(x) $, vanishes: $ \nabla_{\lambda}{g}_{\mu\nu}(x)=0$. En consecuencia, la energía y el momento del campo gravitatorio desaparecen. En cambio, en las teorías relativistas especiales de la gravedad, la primera derivada de la variable del campo gravitatorio no desaparece y, por tanto, tampoco lo hace la energía-momento del campo. Esto sugiere que la falta de energía-momento del campo gravitatorio en la relatividad general se debe a que las cantidades conservadas, como la energía y el momento, sólo son realmente definibles en términos de espacio y tiempo, mientras que el campo en este caso es idéntico a la propia geometría del espacio-tiempo. Sin embargo, me molesta el siguiente hecho: el cambio observado en los periodos orbitales de los púlsares binarios se debe, según nos dicen, a que su energía orbital se transporta en forma de ondas gravitacionales. Pero no veo cómo puede ser esto, si el campo gravitatorio no tiene energía-momento.

Answer 5

El tensor de Hilbert $T_{EH}^{\mu\nu}$ representa la tensión-energía-momento de la materia más los campos no gravitacionales. Se trata de un cantidad física .

Permítanme tomar la constante cosmológica como cero para simplificar (también puede ser absorbida en el tensor de tensión-energía-momento). Si reescribes las ecuaciones de Hilbert Einstein como

$$T_{EH}^{\mu\nu} + t_{G}^{\mu\nu} = - \left( R_{\mu\nu}^{(1)} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}R^{(1)} \right)$$

donde el superíndice $(1)$ representan los términos linealizados en una expansión en serie sobre fondo plano con métrica $\eta_{\mu\nu}$ las ecuaciones parecen formalmente como las ecuaciones para un campo de espín 2 no lineal donde $t_{G}^{\mu\nu}$ sería representan el tensor de energía-momento para el propio campo gravitatorio. El problema es que el signo de $t_{G}^{\mu\nu}$ es incorrecto y, de hecho, ni siquiera es un tensor. Este problema es específico de la relatividad general.

El tensor de energía-momento para el campo gravitatorio existe en la teoría de campo de la gravedad (FTG). Se trata de un tensor verdadero y positivamente definido. Desde la perspectiva de la moderna teoría de campo de la gravedad, es fácil entender por qué la relatividad general carece de un tensor de energía-momento para el campo gravitatorio. En la derivación de la relatividad general a partir de la FTG, es necesario despreciar el tensor de energía-momento de la teoría de campos para el campo gravitatorio $T_{grav}^{\mu\nu}$ como se muestra en mi propio trabajo [1] . En consecuencia, ¡no se puede encontrar este tensor en la relatividad general!

[1] La relatividad general como aproximación geométrica a una teoría de campo de la gravedad