Teorema espectral para operadores unitarios

Question

Vi en varios textos, como parte del teorema espectral para operadores unitarios, que, dado un operador unitario $U$ sobre un espacio de Hilbert $H$ (dicen que es separable), $H$ se puede descomponer como suma directa ortogonal (finito o contable) de la sub-espacios (es decir, los espacios de la forma $\operatorname{cls}(\operatorname{span}\{U^nx/n\in\mathbb{Z}\})$ para algunos vectores $x$).

No podía encontrar una prueba de que, por lo que si alguien me podría dar una referencia o un esbozo de la prueba sería genial.

Answer 1

Tome la siguiente "típica" de un operador unitario: en el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{T}, \mu)$ donde $\mu$ es de un número finito de medida de Borel en el círculo, definir

$$ V f(z) = z f(z). $$

Entonces, sin duda, la demanda tiene por $V$; el vector cíclico puede ser cualquier trigonométricas monomio y sólo hay un sumando. (El trigonométricas polinomios son densos por Stone-Weierstrass y la regularidad de los argumentos.)

Pero el teorema espectral dice arbitraria unitaria en un espacio de Hilbert separable es unitarily equivalente a un contable suma directa de tales $V$'s.