En geometría diferencial dada una suave colector $M$ podemos definir el exterior derivado $d$ actuando en $k$ formas de retribuir $k+1$ formas. Es un mapa de $d : \Omega^k(M)\to \Omega^{k+1}(M)$ cual es, en principio, no es tan difícil de definir. De hecho, es la manera natural para definir un derivado de formas diferenciales y nos lleva directamente a Stokes teorema:
$$\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega.$$
Eso está bien, pero ahora viene la cosa. Si uno tiene una métrica y se puede definir el dual de Hodge $\star$ es posible definir la Hodge codifferential en $k$ formas por
$$\delta = (-1)^{k} \star^{-1}d\star.$$
Al definir el producto $(\cdot,\cdot)$
$$(\eta,\zeta)=\int_{M} \eta \wedge \star \zeta$$
resulta $\delta$ es una especie de adjunto de $d$, en el sentido de que
$$(d\eta,\zeta)=(\eta,\delta \zeta)$$
y, finalmente, desde el se define el operador $\Delta = \delta d+ d\delta$, lo que sería una generalización del laplaciano en general de formas diferenciales.
Todo es bonito, pero hay una cosa aquí. No entiendo el significado de esta, en el sentido de cómo interpretar estas cosas geometricaly y reconocer su importancia real.
La verdad es que estoy interesado en esto porque de la Física teórica. En algunos textos acerca de Clifford haces de este operador aparece mucho, la razón por la que estoy interesado en ella.
Así que mi pregunta es: ¿cuál es el significado de este operador? ¿Cómo podemos entender geometricaly? Por qué iba a presentar y cuál es su importancia? Y si es posible, ¿por qué este operador sería tan considerado en la Física de todos modos?
