Suma de los dígitos de las potencias de 2 para obtener 1 2 4 8 7 5 patrón

Question

Si usted añadir los dígitos decimales de los múltiplos de 9,posiblemente en repetidas ocasiones, se obtiene 9. Por ejemplo, con 18 tenemos $$18\mapsto 1+8=9$$ y con 909 tenemos $$ 909\mapsto 9+0+9=18\mapsto 1+8=9.$$ Esto está demostrado.

Si haces lo mismo con potencias de dos, a desarrollar un patrón de repetición 1,2,4,8,7,5, incluso cuando descienden las potencias negativas. No sé si este se detiene el tiempo, pero parece que podría ser una prueba para ella. ¿Alguien puede probar esto?

\begin{align*} .0625\mapsto 6+2+5=13&\mapsto 4 \\ .125&\mapsto 8 \\ .25 &\mapsto 7 \\ .5 &\mapsto 5 \\ 1&\mapsto 1 \\ 2 &\mapsto 2 \\ 4 &\mapsto 4 \\ 8&\mapsto 8 \\ 16&\mapsto 7 \\ 32&\mapsto 5 \\ 64\mapsto 10 &\mapsto 1 \\ 128&\mapsto 2 \\ 256 \mapsto 13 &\mapsto 4 \\ 512 &\mapsto 8 \\ 1024 &\mapsto 7 \\ 2048 \mapsto 14&\mapsto 5 \\ 4096\mapsto 19 &\mapsto 1 \\ \end{align*}

Answer 1

Nos fijamos en $2^n$ donde $n$ rangos de los enteros no negativos.

La clave está en el hecho de que $2^6$ resto $1$ sobre la división por $9$. Usando la congruencia de la notación, tenemos $2^6\equiv 1\pmod{9}$. Deje $n$ ser cualquier número entero no negativo. Podemos expresar $n$$6q+r$, donde $0\le r\le 5$ ($q$ representa el cociente, $r$ para el resto).

De ello se sigue que $$2^n=2^{6q+r}=(2^6)^q 2^r\equiv (1)^q 2^r\equiv 2^r\pmod{9}.$$ Así que el resto cuando se divide $2^n$ $9$ depende sólo de $r$. Para $r=0$, $1$, $2$, $3$, $4$, y $5$, estos restos son, como se observa, $1$, $2$, $4$, $8$, $7$, y $5$.

Para conectar este con las sumas de (decimal) dígitos, se observa que un número decimal como $6852$ es sólo $(6)(10^3)+(8)(10^2)+(5)(10^1) +(2)(10^0)$. Pero para cualquier entero no negativo,$k$,$10^k\equiv 1\pmod{9}$. Por lo $6852\equiv 6+8+5+2 \pmod{9}$. Por lo tanto el resto al $6852$ se divide por $9$ es el mismo que el resto al $6+8+5+2$ se divide por $9$. Asimilar observación vale para cualquier entero no negativo, expresados en forma decimal.

Desde los restos de al $2^n$ se divide por $9$ ciclo con período de $6$, y la "echa fuera a los nueves" proceso nos da estos restos, el patrón observado usted continúa para siempre.

Se extendió el patrón de los exponentes negativos. Esta es una observación interesante que yo no recuerdo ver antes. Express $2^{-n}$ como un decimal, señalando que $$2^{-n}=\frac{1}{2^n}=\frac{5^n}{10^n}.$$ Entonces (esencialmente) miraba la suma de dígitos (modulo $9$)$5^n$. Modulo $9$, los números de $5^n$ ciclo con período de $6$, por la misma razón que con $2^n$.

Ahora calcular el $5^n$ modulo $9$$n=0,1, 2, 3, 4, 5$. Tenemos que $5^n$ es congruente a su vez a $1$, $5$, $7$, $8$, $4$, y $2$ modulo $9$. Así, el patrón de hecho continuar "hacia atrás".

Observación: Para un enfoque más general, por favor vea el Teorema de Euler.