Problema
Considerar la clásica browniano $W_t$,$var\left(W_t-W_u\right)=\left|t-u\right|$.
Considerar el proceso definido por
$$X(t)=e^{-t/\tau}\left(X_0+\sqrt{Q_B}\int_0^t e^{u/\tau}dW_u\right)$$
Con $Q_B$ ser un real positivo de escala constante.
Quiero estudiar $$Y(t,L)=\frac{X(t+L)-X(t)}{L}={\left(e^{-L/\tau}-1\right)X(t)+e^{-L/\tau}\sqrt{Q_B}\int_{t}^{t+L} e^{(u-t)/\tau}dW_u \over L}$$ Ideal para cualquier $t$, y al menos para $t\to\infty$. (Me referiré a $\lim_{t\to\infty}Y(t,L)$ $Y_\infty(L)$ a partir de ahora).
Desde $Y(t,L)$ es gaussiano, con una media de ${\left(e^{-L/\tau}-1\right)e^{-t/\tau} \over L}X_0$, sólo tenemos que calcular la varianza.
Primera aproximación
Teniendo en cuenta que los dos términos de la suma son independientes (¿está usted de acuerdo que el $\int_0^t e^{u/\tau}dW_u$ $\int_{t}^{t+L} e^{(u-t)/\tau}dW_u$ son independientes ?), Yo simplemente la suma de las desviaciones y obtener $$var\left(Y(t,L)\right)={\left(e^{-L/\tau}-1\right)^2var(X(t))+\left(1-e^{-2L/\tau}\right)\frac{Q_B\tau}{2} \over L^2}$$
Computación $var(X(t))$ :
Yo tampoco puede calcular directamente $$var(X(t))=Q_Be^{-2t/\tau}\int_0^t e^{2u/\tau}du=\frac{Q_B\tau}{2}\left(1-e^{-2t/\tau}\right)$$
o, al menos, para $t\to \infty$, el uso de la transformada de Laplace $\frac{1}{1+\tau s}$ y calcular $$Q_B\int_{-\infty}^{+\infty}\left|\frac{1}{1+2i\pi\tau f}\right|^2df=Q_B\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+4\pi^2\tau^2 f^2}df=\frac{Q_B}{2\tau}$$
Primera observación : cuando el $t\to\infty$, la primera converge a $\frac{Q_B\tau}{2}$, por lo que los dos métodos no coinciden. Supongo que la segunda es incorrecta, pero ¿por qué ?
Considerando $var(X(t))=\frac{Q_B\tau}{2}\left(1-e^{-2t/\tau}\right)$ (primer resultado), podemos obtener
$$var\left(Y(t,L)\right)=\left[\left(e^{-L/\tau}-1\right)^2\left(1-e^{-2t/\tau}\right)+\left(1-e^{-2L/\tau}\right)\right]\frac{Q_B\tau}{2L^2}$$
y
$$var\left(Y_\infty(L)\right)=\frac{Q_B\tau}{L^2}\left(1-e^{-L/\tau}\right)$$
En primer lugar, esto es correcto ?
Segundo método
Otra forma de calcular $var\left(Y_{\infty}(L)\right)$ sería considerar la posibilidad de la transformada de Laplace $$\frac{Y}{X}=\frac{e^{sL}-1}{L}$$ y evaluar $$var\left(Y_{\infty}(L)\right)=Q_B\int_{-\infty}^{+\infty}\left|\frac{e^{2i \pi Lf}-1}{L(1+2i\pi\tau f)}\right|^2df=Q_B\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{4sin^2\pi Lf}{L^2(1+4\pi^2\tau^2 f^2)}df$$ Deje $x=\pi L f$, y obtenemos $$var\left(Y_{\infty}(L)\right)=\frac{4Q_B}{\pi L}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{sin^2x}{L^2+4\tau^2 x^2}dx$$ Desde Wolfram nos da
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{sin^2x}{L^2+4\tau^2 x^2}dx=\frac{\pi}{4\tau L}(1-e^{-L/\tau})$$
llegamos a la conclusión de
$$var\left(Y_{\infty}(L)\right)=\frac{Q_B}{\tau L^2}(1-e^{-L/\tau})$$
Ahora, esto difiere de lo que nos dieron en el primer enfoque. Cual es el adecuado (si al menos una es la correcta...) ? Y por qué es el otro (o ambos) mal ?
