casi en todas partes diferenciables pero no en todas partes continuamente diferenciables

Question

El ejemplo común de lo diferenciable pero no continuamente diferenciable es $x^2 \sin \frac {1}{x}$ . Esto todavía se ve casi en todas partes continuamente diferenciable para mis ojos no muy entrenados. ¿Hay ejemplos de casi todas las cosas que se pueden diferenciar pero no de todas las cosas que se pueden diferenciar continuamente? Si es así, ¿hay condiciones simples (posiblemente relacionadas con los derivados de un solo lado) que puedan combinarse con casi todos los diferenciables para dar casi todos los diferenciables continuamente?

(Estoy tratando de mostrar que la función continua de Lipschitz con la que estoy trabajando es casi en todas partes continuamente diferenciable. El teorema de Rademacher dice que una función continua de Lipschitz es casi siempre diferenciable. )

Answer 1

Construir un conjunto medible $A$ con la propiedad de que para cualquier intervalo abierto no vacío $(a,b)$ : $$ 0 < m((a,b) \cap A) < m((a,b)) .$$

Ver por ejemplo esta construcción: Construcción de un conjunto de Borel con medida positiva pero no completa en cada intervalo

Deje que $f(x)=m ((0,x) \cap A) - m ((x,0) \cap A)$ . Luego $f$ es Lipschitz y tiene un derivado a.e. $f'=1_A(x)$ . Pero en cualquier intervalo $(a,b)$ , $f'$ toma ambos valores 0 y 1 con probabilidad positiva. Así que no hay ningún lugar continuo.